Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50320 / 49297
↖ ↑ ↗
← S 66.828682°
E 96.416015°		 ← 240.36 m → S 66.828682°
E 96.421509°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
S 66.830843°
E 96.416015°		 ← 240.34 m →
57 774 m²		 S 66.830843°
E 96.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767829895019531 y=0.752220153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767829895019531 × 216)
    floor (0.767829895019531 × 65536)
    floor (50320.5)     		tx = 50320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752220153808594 × 216)
    floor (0.752220153808594 × 65536)
    floor (49297.5)     		ty = 49297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50320 / 49297 ti = "16/50320/49297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50320/49297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50320 ÷ 216
    50320 ÷ 65536     		x = 0.767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49297 ÷ 216
    49297 ÷ 65536     		y = 0.752212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767822265625 × 2 - 1) × π
    0.53564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68277692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.504425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58469802763982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68277692} λ = 1.68277692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58469802763982))-π/2
    2×atan(0.205009691030858)-π/2
    2×0.202207897055489-π/2
    0.404415794110977-1.57079632675     		φ = -1.16638053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68277692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.416015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16638053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.828682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50320 KachelY 49297 1.68277692 -1.16638053 96.416015 -66.828682
    Oben rechts KachelX + 1 50321 KachelY 49297 1.68287280 -1.16638053 96.421509 -66.828682
    Unten links KachelX 50320 KachelY + 1 49298 1.68277692 -1.16641826 96.416015 -66.830843
    Unten rechts KachelX + 1 50321 KachelY + 1 49298 1.68287280 -1.16641826 96.421509 -66.830843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16638053--1.16641826) × R
    3.77299999998471e-05 × 6371000     		dl = 240.377829999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16638053--1.16641826) × R
    3.77299999998471e-05 × 6371000     		dr = 240.377829999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68277692-1.68287280) × cos(-1.16638053) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393481750597084 × 6371000     		do = 240.358909705062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68277692-1.68287280) × cos(-1.16641826) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393447063904538 × 6371000     		du = 240.337721287584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16638053)-sin(-1.16641826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393481750597084-0.393447063904538)×R²
    abs(1.68287280-1.68277692)×3.4686692545971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4686692545971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4686692545971e-05×40589641000000     		ar = 57774.4065294278m²