Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5032 / 1194
↖ ↑ ↗
← N 77.674122°
E 41.132813°		 ← 1 043.13 m → N 77.674122°
E 41.176758°		 →
↑
1 043.57 m
↓
↑
1 043.57 m
↓
N 77.664737°
E 41.132813°		 ← 1 043.91 m →
1 088 985 m²		 N 77.664737°
E 41.176758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61431884765625 y=0.14581298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61431884765625 × 213)
    floor (0.61431884765625 × 8192)
    floor (5032.5)     		tx = 5032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14581298828125 × 213)
    floor (0.14581298828125 × 8192)
    floor (1194.5)     		ty = 1194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5032 / 1194 ti = "13/5032/1194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5032/1194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5032 ÷ 213
    5032 ÷ 8192     		x = 0.6142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1194 ÷ 213
    1194 ÷ 8192     		y = 0.145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6142578125 × 2 - 1) × π
    0.228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71790301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    0.70849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22580612315845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71790301} λ = 0.71790301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22580612315845))-π/2
    2×atan(9.26094525811588)-π/2
    2×1.46323275166081-π/2
    2.92646550332162-1.57079632675     		φ = 1.35566918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71790301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.132813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35566918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.674122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5032 KachelY 1194 0.71790301 1.35566918 41.132813 77.674122
    Oben rechts KachelX + 1 5033 KachelY 1194 0.71867000 1.35566918 41.176758 77.674122
    Unten links KachelX 5032 KachelY + 1 1195 0.71790301 1.35550538 41.132813 77.664737
    Unten rechts KachelX + 1 5033 KachelY + 1 1195 0.71867000 1.35550538 41.176758 77.664737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35566918-1.35550538) × R
    0.000163799999999936 × 6371000     		dl = 1043.56979999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35566918-1.35550538) × R
    0.000163799999999936 × 6371000     		dr = 1043.56979999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71790301-0.71867000) × cos(1.35566918) × R
    0.000766990000000023 × 0.213471645993141 × 6371000     		do = 1043.12776575077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71790301-0.71867000) × cos(1.35550538) × R
    0.000766990000000023 × 0.213631667417422 × 6371000     		du = 1043.90970936678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35566918)-sin(1.35550538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213471645993141-0.213631667417422)×R²
    abs(0.71867000-0.71790301)×0.000160021424281676×R²
    0.000766990000000023×0.000160021424281676×6371000²
    0.000766990000000023×0.000160021424281676×40589641000000     		ar = 1088984.64268788m²