Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5032 / 1187
↖ ↑ ↗
← N 77.739618°
E 41.132813°		 ← 1 037.67 m → N 77.739618°
E 41.176758°		 →
↑
1 038.03 m
↓
↑
1 038.03 m
↓
N 77.730283°
E 41.132813°		 ← 1 038.45 m →
1 077 533 m²		 N 77.730283°
E 41.176758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61431884765625 y=0.14495849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61431884765625 × 213)
    floor (0.61431884765625 × 8192)
    floor (5032.5)     		tx = 5032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14495849609375 × 213)
    floor (0.14495849609375 × 8192)
    floor (1187.5)     		ty = 1187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5032 / 1187 ti = "13/5032/1187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5032/1187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5032 ÷ 213
    5032 ÷ 8192     		x = 0.6142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1187 ÷ 213
    1187 ÷ 8192     		y = 0.1448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6142578125 × 2 - 1) × π
    0.228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71790301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1448974609375 × 2 - 1) × π
    0.710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23117505591589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71790301} λ = 0.71790301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23117505591589))-π/2
    2×atan(9.31080036507766)-π/2
    2×1.46380430873265-π/2
    2.9276086174653-1.57079632675     		φ = 1.35681229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71790301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.132813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35681229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.739618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5032 KachelY 1187 0.71790301 1.35681229 41.132813 77.739618
    Oben rechts KachelX + 1 5033 KachelY 1187 0.71867000 1.35681229 41.176758 77.739618
    Unten links KachelX 5032 KachelY + 1 1188 0.71790301 1.35664936 41.132813 77.730283
    Unten rechts KachelX + 1 5033 KachelY + 1 1188 0.71867000 1.35664936 41.176758 77.730283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35681229-1.35664936) × R
    0.000162929999999895 × 6371000     		dl = 1038.02702999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35681229-1.35664936) × R
    0.000162929999999895 × 6371000     		dr = 1038.02702999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71790301-0.71867000) × cos(1.35681229) × R
    0.000766990000000023 × 0.21235474629617 × 6371000     		do = 1037.67004287592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71790301-0.71867000) × cos(1.35664936) × R
    0.000766990000000023 × 0.212513957474201 × 6371000     		du = 1038.44802722906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35681229)-sin(1.35664936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21235474629617-0.212513957474201)×R²
    abs(0.71867000-0.71790301)×0.000159211178031304×R²
    0.000766990000000023×0.000159211178031304×6371000²
    0.000766990000000023×0.000159211178031304×40589641000000     		ar = 1077533.33950339m²