Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50317 / 49901
↖ ↑ ↗
← S 68.099956°
E 96.399536°		 ← 227.84 m → S 68.099956°
E 96.405029°		 →
↑
227.83 m
↓
↑
227.83 m
↓
S 68.102005°
E 96.399536°		 ← 227.82 m →
51 906 m²		 S 68.102005°
E 96.405029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767784118652344 y=0.761436462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767784118652344 × 216)
    floor (0.767784118652344 × 65536)
    floor (50317.5)     		tx = 50317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761436462402344 × 216)
    floor (0.761436462402344 × 65536)
    floor (49901.5)     		ty = 49901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50317 / 49901 ti = "16/50317/49901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50317/49901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50317 ÷ 216
    50317 ÷ 65536     		x = 0.767776489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49901 ÷ 216
    49901 ÷ 65536     		y = 0.761428833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767776489257812 × 2 - 1) × π
    0.535552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68248930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761428833007812 × 2 - 1) × π
    -0.522857666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64260580238084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68248930} λ = 1.68248930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64260580238084))-π/2
    2×atan(0.19347522664541)-π/2
    2×0.191113939884611-π/2
    0.382227879769222-1.57079632675     		φ = -1.18856845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68248930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.399536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18856845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.099956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50317 KachelY 49901 1.68248930 -1.18856845 96.399536 -68.099956
    Oben rechts KachelX + 1 50318 KachelY 49901 1.68258518 -1.18856845 96.405029 -68.099956
    Unten links KachelX 50317 KachelY + 1 49902 1.68248930 -1.18860421 96.399536 -68.102005
    Unten rechts KachelX + 1 50318 KachelY + 1 49902 1.68258518 -1.18860421 96.405029 -68.102005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18856845--1.18860421) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dl = 227.826960000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18856845--1.18860421) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dr = 227.826960000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68248930-1.68258518) × cos(-1.18856845) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372988497573867 × 6371000     		do = 227.840575765823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68248930-1.68258518) × cos(-1.18860421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372955317921228 × 6371000     		du = 227.820307925903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18856845)-sin(-1.18860421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372988497573867-0.372955317921228)×R²
    abs(1.68258518-1.68248930)×3.31796526386041e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31796526386041e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31796526386041e-05×40589641000000     		ar = 51905.9169669772m²