Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50315 / 49897
↖ ↑ ↗
← S 68.091759°
E 96.388550°		 ← 227.90 m → S 68.091759°
E 96.394043°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 68.093808°
E 96.388550°		 ← 227.88 m →
51 933 m²		 S 68.093808°
E 96.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767753601074219 y=0.761375427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767753601074219 × 216)
    floor (0.767753601074219 × 65536)
    floor (50315.5)     		tx = 50315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761375427246094 × 216)
    floor (0.761375427246094 × 65536)
    floor (49897.5)     		ty = 49897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50315 / 49897 ti = "16/50315/49897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50315/49897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50315 ÷ 216
    50315 ÷ 65536     		x = 0.767745971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49897 ÷ 216
    49897 ÷ 65536     		y = 0.761367797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767745971679688 × 2 - 1) × π
    0.535491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68229756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761367797851562 × 2 - 1) × π
    -0.522735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64222230718388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68229756} λ = 1.68229756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64222230718388))-π/2
    2×atan(0.19354943769444)-π/2
    2×0.19118547225916-π/2
    0.382370944518319-1.57079632675     		φ = -1.18842538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68229756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18842538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.091759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50315 KachelY 49897 1.68229756 -1.18842538 96.388550 -68.091759
    Oben rechts KachelX + 1 50316 KachelY 49897 1.68239343 -1.18842538 96.394043 -68.091759
    Unten links KachelX 50315 KachelY + 1 49898 1.68229756 -1.18846115 96.388550 -68.093808
    Unten rechts KachelX + 1 50316 KachelY + 1 49898 1.68239343 -1.18846115 96.394043 -68.093808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18842538--1.18846115) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18842538--1.18846115) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68229756-1.68239343) × cos(-1.18842538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373121239247781 × 6371000     		do = 227.897889659784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68229756-1.68239343) × cos(-1.18846115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373088052225716 × 6371000     		du = 227.877619432583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18842538)-sin(-1.18846115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373121239247781-0.373088052225716)×R²
    abs(1.68239343-1.68229756)×3.31870220657837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31870220657837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31870220657837e-05×40589641000000     		ar = 51933.4930736301m²