Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50315 / 48761
↖ ↑ ↗
← S 65.642421°
E 96.388550°		 ← 251.91 m → S 65.642421°
E 96.394043°		 →
↑
251.91 m
↓
↑
251.91 m
↓
S 65.644686°
E 96.388550°		 ← 251.89 m →
63 455 m²		 S 65.644686°
E 96.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767753601074219 y=0.744041442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767753601074219 × 216)
    floor (0.767753601074219 × 65536)
    floor (50315.5)     		tx = 50315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744041442871094 × 216)
    floor (0.744041442871094 × 65536)
    floor (48761.5)     		ty = 48761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50315 / 48761 ti = "16/50315/48761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50315/48761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50315 ÷ 216
    50315 ÷ 65536     		x = 0.767745971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48761 ÷ 216
    48761 ÷ 65536     		y = 0.744033813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767745971679688 × 2 - 1) × π
    0.535491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68229756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744033813476562 × 2 - 1) × π
    -0.488067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53330967124712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68229756} λ = 1.68229756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53330967124712))-π/2
    2×atan(0.215820190094217)-π/2
    2×0.212559979663781-π/2
    0.425119959327563-1.57079632675     		φ = -1.14567637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68229756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14567637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.642421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50315 KachelY 48761 1.68229756 -1.14567637 96.388550 -65.642421
    Oben rechts KachelX + 1 50316 KachelY 48761 1.68239343 -1.14567637 96.394043 -65.642421
    Unten links KachelX 50315 KachelY + 1 48762 1.68229756 -1.14571591 96.388550 -65.644686
    Unten rechts KachelX + 1 50316 KachelY + 1 48762 1.68239343 -1.14571591 96.394043 -65.644686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14567637--1.14571591) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dl = 251.909339999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14567637--1.14571591) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dr = 251.909339999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68229756-1.68239343) × cos(-1.14567637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412430064063022 × 6371000     		do = 251.907239110005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68229756-1.68239343) × cos(-1.14571591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412394043225066 × 6371000     		du = 251.885238022716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14567637)-sin(-1.14571591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412430064063022-0.412394043225066)×R²
    abs(1.68239343-1.68229756)×3.60208379561189e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60208379561189e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60208379561189e-05×40589641000000     		ar = 63455.0152140603m²