Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50314 / 49291
↖ ↑ ↗
← S 66.815710°
E 96.383057°		 ← 240.49 m → S 66.815710°
E 96.388550°		 →
↑
240.44 m
↓
↑
240.44 m
↓
S 66.817872°
E 96.383057°		 ← 240.46 m →
57 820 m²		 S 66.817872°
E 96.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767738342285156 y=0.752128601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767738342285156 × 216)
    floor (0.767738342285156 × 65536)
    floor (50314.5)     		tx = 50314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752128601074219 × 216)
    floor (0.752128601074219 × 65536)
    floor (49291.5)     		ty = 49291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50314 / 49291 ti = "16/50314/49291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50314/49291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50314 ÷ 216
    50314 ÷ 65536     		x = 0.767730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49291 ÷ 216
    49291 ÷ 65536     		y = 0.752120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767730712890625 × 2 - 1) × π
    0.53546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68220168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.504241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58412278484438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68220168} λ = 1.68220168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58412278484438))-π/2
    2×atan(0.205127655304416)-π/2
    2×0.202321100755544-π/2
    0.404642201511088-1.57079632675     		φ = -1.16615413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68220168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.383057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16615413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.815710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50314 KachelY 49291 1.68220168 -1.16615413 96.383057 -66.815710
    Oben rechts KachelX + 1 50315 KachelY 49291 1.68229756 -1.16615413 96.388550 -66.815710
    Unten links KachelX 50314 KachelY + 1 49292 1.68220168 -1.16619187 96.383057 -66.817872
    Unten rechts KachelX + 1 50315 KachelY + 1 49292 1.68229756 -1.16619187 96.388550 -66.817872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16615413--1.16619187) × R
    3.77400000000083e-05 × 6371000     		dl = 240.441540000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16615413--1.16619187) × R
    3.77400000000083e-05 × 6371000     		dr = 240.441540000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68220168-1.68229756) × cos(-1.16615413) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.393689877372515 × 6371000     		do = 240.486044254419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68220168-1.68229756) × cos(-1.16619187) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.393655184849278 × 6371000     		du = 240.464852275254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16615413)-sin(-1.16619187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393689877372515-0.393655184849278)×R²
    abs(1.68229756-1.68220168)×3.46925232376227e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.46925232376227e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.46925232376227e-05×40589641000000     		ar = 57820.2871198153m²