Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50312 / 49384
↖ ↑ ↗
← S 67.016009°
E 96.372070°		 ← 238.52 m → S 67.016009°
E 96.377564°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
S 67.018154°
E 96.372070°		 ← 238.50 m →
56 892 m²		 S 67.018154°
E 96.377564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767707824707031 y=0.753547668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767707824707031 × 216)
    floor (0.767707824707031 × 65536)
    floor (50312.5)     		tx = 50312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753547668457031 × 216)
    floor (0.753547668457031 × 65536)
    floor (49384.5)     		ty = 49384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50312 / 49384 ti = "16/50312/49384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50312/49384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50312 ÷ 216
    50312 ÷ 65536     		x = 0.7677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49384 ÷ 216
    49384 ÷ 65536     		y = 0.7535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7677001953125 × 2 - 1) × π
    0.535400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68200993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59303904817371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68200993} λ = 1.68200993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59303904817371))-π/2
    2×atan(0.203306812732548)-π/2
    2×0.200573156061092-π/2
    0.401146312122183-1.57079632675     		φ = -1.16965001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68200993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16965001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.016009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50312 KachelY 49384 1.68200993 -1.16965001 96.372070 -67.016009
    Oben rechts KachelX + 1 50313 KachelY 49384 1.68210581 -1.16965001 96.377564 -67.016009
    Unten links KachelX 50312 KachelY + 1 49385 1.68200993 -1.16968745 96.372070 -67.018154
    Unten rechts KachelX + 1 50313 KachelY + 1 49385 1.68210581 -1.16968745 96.377564 -67.018154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16965001--1.16968745) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dl = 238.530240000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16965001--1.16968745) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dr = 238.530240000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68200993-1.68210581) × cos(-1.16965001) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390473913907928 × 6371000     		do = 238.521568211894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68200993-1.68210581) × cos(-1.16968745) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390439445846396 × 6371000     		du = 238.500513345494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16965001)-sin(-1.16968745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390473913907928-0.390439445846396)×R²
    abs(1.68210581-1.68200993)×3.4468061532511e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4468061532511e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4468061532511e-05×40589641000000     		ar = 56892.0958060843m²