Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5031 / 7160
↖ ↑ ↗
← N 70.641769°
W124.727783°		 ← 404.94 m → N 70.641769°
W124.716797°		 →
↑
404.94 m
↓
↑
404.94 m
↓
N 70.638127°
W124.727783°		 ← 405.01 m →
163 992 m²		 N 70.638127°
W124.716797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153549194335938 y=0.218521118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153549194335938 × 215)
    floor (0.153549194335938 × 32768)
    floor (5031.5)     		tx = 5031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218521118164062 × 215)
    floor (0.218521118164062 × 32768)
    floor (7160.5)     		ty = 7160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5031 / 7160 ti = "15/5031/7160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5031/7160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5031 ÷ 215
    5031 ÷ 32768     		x = 0.153533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7160 ÷ 215
    7160 ÷ 32768     		y = 0.218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.69293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17691049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17691049} λ = -2.17691049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76867984838159))-π/2
    2×atan(5.86310805842813)-π/2
    2×1.40186389032552-π/2
    2.80372778065105-1.57079632675     		φ = 1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17691049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.727783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5031 KachelY 7160 -2.17691049 1.23293145 -124.727783 70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 5032 KachelY 7160 -2.17671874 1.23293145 -124.716797 70.641769
    Unten links KachelX 5031 KachelY + 1 7161 -2.17691049 1.23286789 -124.727783 70.638127
    Unten rechts KachelX + 1 5032 KachelY + 1 7161 -2.17671874 1.23286789 -124.716797 70.638127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23293145-1.23286789) × R
    6.35599999998515e-05 × 6371000     		dl = 404.940759999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23293145-1.23286789) × R
    6.35599999998515e-05 × 6371000     		dr = 404.940759999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17691049--2.17671874) × cos(1.23293145) × R
    0.000191749999999935 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 404.940959951485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17691049--2.17671874) × cos(1.23286789) × R
    0.000191749999999935 × 0.33153340210241 × 6371000     		du = 405.014216694199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23293145)-sin(1.23286789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.33153340210241)×R²
    abs(-2.17671874--2.17691049)×5.99659373371475e-05×R²
    0.000191749999999935×5.99659373371475e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.99659373371475e-05×40589641000000     		ar = 163991.932453637m²