Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50309 / 48774
↖ ↑ ↗
← S 65.671856°
E 96.355591°		 ← 251.65 m → S 65.671856°
E 96.361084°		 →
↑
251.65 m
↓
↑
251.65 m
↓
S 65.674119°
E 96.355591°		 ← 251.63 m →
63 325 m²		 S 65.674119°
E 96.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767662048339844 y=0.744239807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767662048339844 × 216)
    floor (0.767662048339844 × 65536)
    floor (50309.5)     		tx = 50309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744239807128906 × 216)
    floor (0.744239807128906 × 65536)
    floor (48774.5)     		ty = 48774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50309 / 48774 ti = "16/50309/48774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50309/48774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50309 ÷ 216
    50309 ÷ 65536     		x = 0.767654418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48774 ÷ 216
    48774 ÷ 65536     		y = 0.744232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767654418945312 × 2 - 1) × π
    0.535308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68172231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.48846435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53455603063724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68172231} λ = 1.68172231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53455603063724))-π/2
    2×atan(0.215551368132903)-π/2
    2×0.212303107488598-π/2
    0.424606214977196-1.57079632675     		φ = -1.14619011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68172231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14619011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.671856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50309 KachelY 48774 1.68172231 -1.14619011 96.355591 -65.671856
    Oben rechts KachelX + 1 50310 KachelY 48774 1.68181819 -1.14619011 96.361084 -65.671856
    Unten links KachelX 50309 KachelY + 1 48775 1.68172231 -1.14622961 96.355591 -65.674119
    Unten rechts KachelX + 1 50310 KachelY + 1 48775 1.68181819 -1.14622961 96.361084 -65.674119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14619011--1.14622961) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dl = 251.65449999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14619011--1.14622961) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dr = 251.65449999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68172231-1.68181819) × cos(-1.14619011) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411961998032156 × 6371000     		do = 251.647596201535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68172231-1.68181819) × cos(-1.14622961) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411926005270205 × 6371000     		du = 251.625609969627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14619011)-sin(-1.14622961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411961998032156-0.411926005270205)×R²
    abs(1.68181819-1.68172231)×3.59927619513756e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.59927619513756e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.59927619513756e-05×40589641000000     		ar = 63325.4835392508m²