Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50307 / 48771
↖ ↑ ↗
← S 65.665066°
E 96.344604°		 ← 251.71 m → S 65.665066°
E 96.350098°		 →
↑
251.65 m
↓
↑
251.65 m
↓
S 65.667329°
E 96.344604°		 ← 251.69 m →
63 342 m²		 S 65.667329°
E 96.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767631530761719 y=0.744194030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767631530761719 × 216)
    floor (0.767631530761719 × 65536)
    floor (50307.5)     		tx = 50307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744194030761719 × 216)
    floor (0.744194030761719 × 65536)
    floor (48771.5)     		ty = 48771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50307 / 48771 ti = "16/50307/48771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50307/48771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50307 ÷ 216
    50307 ÷ 65536     		x = 0.767623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48771 ÷ 216
    48771 ÷ 65536     		y = 0.744186401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767623901367188 × 2 - 1) × π
    0.535247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68153056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744186401367188 × 2 - 1) × π
    -0.488372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53426840923952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68153056} λ = 1.68153056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53426840923952))-π/2
    2×atan(0.215613374235399)-π/2
    2×0.212362359795172-π/2
    0.424724719590344-1.57079632675     		φ = -1.14607161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68153056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.344604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14607161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.665066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50307 KachelY 48771 1.68153056 -1.14607161 96.344604 -65.665066
    Oben rechts KachelX + 1 50308 KachelY 48771 1.68162644 -1.14607161 96.350098 -65.665066
    Unten links KachelX 50307 KachelY + 1 48772 1.68153056 -1.14611111 96.344604 -65.667329
    Unten rechts KachelX + 1 50308 KachelY + 1 48772 1.68162644 -1.14611111 96.350098 -65.667329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14607161--1.14611111) × R
    3.95000000001922e-05 × 6371000     		dl = 251.654500001224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14607161--1.14611111) × R
    3.95000000001922e-05 × 6371000     		dr = 251.654500001224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68153056-1.68162644) × cos(-1.14607161) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.412069972461203 × 6371000     		do = 251.713552541903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68153056-1.68162644) × cos(-1.14611111) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.412033981627711 × 6371000     		du = 251.691567487998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14607161)-sin(-1.14611111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412069972461203-0.412033981627711)×R²
    abs(1.68162644-1.68153056)×3.59908334919279e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.59908334919279e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.59908334919279e-05×40589641000000     		ar = 63342.081898053m²