Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50305 / 49783
↖ ↑ ↗
← S 67.856915°
E 96.333618°		 ← 230.22 m → S 67.856915°
E 96.339111°		 →
↑
230.18 m
↓
↑
230.18 m
↓
S 67.858985°
E 96.333618°		 ← 230.20 m →
52 990 m²		 S 67.858985°
E 96.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767601013183594 y=0.759635925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767601013183594 × 216)
    floor (0.767601013183594 × 65536)
    floor (50305.5)     		tx = 50305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759635925292969 × 216)
    floor (0.759635925292969 × 65536)
    floor (49783.5)     		ty = 49783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50305 / 49783 ti = "16/50305/49783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50305/49783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50305 ÷ 216
    50305 ÷ 65536     		x = 0.767593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49783 ÷ 216
    49783 ÷ 65536     		y = 0.759628295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767593383789062 × 2 - 1) × π
    0.535186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68133882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759628295898438 × 2 - 1) × π
    -0.519256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63129269407051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68133882} λ = 1.68133882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63129269407051))-π/2
    2×atan(0.195676460762518)-π/2
    2×0.193234875171558-π/2
    0.386469750343117-1.57079632675     		φ = -1.18432658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68133882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.333618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18432658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.856915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50305 KachelY 49783 1.68133882 -1.18432658 96.333618 -67.856915
    Oben rechts KachelX + 1 50306 KachelY 49783 1.68143469 -1.18432658 96.339111 -67.856915
    Unten links KachelX 50305 KachelY + 1 49784 1.68133882 -1.18436271 96.333618 -67.858985
    Unten rechts KachelX + 1 50306 KachelY + 1 49784 1.68143469 -1.18436271 96.339111 -67.858985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18432658--1.18436271) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dl = 230.184230000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18432658--1.18436271) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dr = 230.184230000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68133882-1.68143469) × cos(-1.18432658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376920889650004 × 6371000     		do = 230.218669655737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68133882-1.68143469) × cos(-1.18436271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37688742415571 × 6371000     		du = 230.198229341105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18432658)-sin(-1.18436271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376920889650004-0.37688742415571)×R²
    abs(1.68143469-1.68133882)×3.346549429456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.346549429456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.346549429456e-05×40589641000000     		ar = 52990.3546932229m²