Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50305 / 48511
↖ ↑ ↗
← S 65.069815°
E 96.333618°		 ← 257.46 m → S 65.069815°
E 96.339111°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
S 65.072130°
E 96.333618°		 ← 257.43 m →
66 280 m²		 S 65.072130°
E 96.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767601013183594 y=0.740226745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767601013183594 × 216)
    floor (0.767601013183594 × 65536)
    floor (50305.5)     		tx = 50305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740226745605469 × 216)
    floor (0.740226745605469 × 65536)
    floor (48511.5)     		ty = 48511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50305 / 48511 ti = "16/50305/48511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50305/48511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50305 ÷ 216
    50305 ÷ 65536     		x = 0.767593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48511 ÷ 216
    48511 ÷ 65536     		y = 0.740219116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767593383789062 × 2 - 1) × π
    0.535186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68133882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740219116210938 × 2 - 1) × π
    -0.480438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50934122143709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68133882} λ = 1.68133882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50934122143709))-π/2
    2×atan(0.221055556663991)-π/2
    2×0.217556907944091-π/2
    0.435113815888183-1.57079632675     		φ = -1.13568251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68133882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.333618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13568251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.069815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50305 KachelY 48511 1.68133882 -1.13568251 96.333618 -65.069815
    Oben rechts KachelX + 1 50306 KachelY 48511 1.68143469 -1.13568251 96.339111 -65.069815
    Unten links KachelX 50305 KachelY + 1 48512 1.68133882 -1.13572292 96.333618 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 50306 KachelY + 1 48512 1.68143469 -1.13572292 96.339111 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13568251--1.13572292) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13568251--1.13572292) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68133882-1.68143469) × cos(-1.13568251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421513615678497 × 6371000     		do = 257.4553613449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68133882-1.68143469) × cos(-1.13572292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 257.432979012341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13568251)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421513615678497-0.421476970654384)×R²
    abs(1.68143469-1.68133882)×3.66450241127692e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66450241127692e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66450241127692e-05×40589641000000     		ar = 66279.5448285315m²