Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50304 / 49792
↖ ↑ ↗
← S 67.875541°
E 96.328125°		 ← 230.06 m → S 67.875541°
E 96.333618°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 67.877610°
E 96.328125°		 ← 230.04 m →
52 910 m²		 S 67.877610°
E 96.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767585754394531 y=0.759773254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767585754394531 × 216)
    floor (0.767585754394531 × 65536)
    floor (50304.5)     		tx = 50304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759773254394531 × 216)
    floor (0.759773254394531 × 65536)
    floor (49792.5)     		ty = 49792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50304 / 49792 ti = "16/50304/49792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50304/49792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50304 ÷ 216
    50304 ÷ 65536     		x = 0.767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49792 ÷ 216
    49792 ÷ 65536     		y = 0.759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767578125 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759765625 × 2 - 1) × π
    -0.51953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63215555826367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68124294} λ = 1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63215555826367))-π/2
    2×atan(0.195507691374084)-π/2
    2×0.193072324369246-π/2
    0.386144648738491-1.57079632675     		φ = -1.18465168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18465168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.875541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50304 KachelY 49792 1.68124294 -1.18465168 96.328125 -67.875541
    Oben rechts KachelX + 1 50305 KachelY 49792 1.68133882 -1.18465168 96.333618 -67.875541
    Unten links KachelX 50304 KachelY + 1 49793 1.68124294 -1.18468778 96.328125 -67.877610
    Unten rechts KachelX + 1 50305 KachelY + 1 49793 1.68133882 -1.18468778 96.333618 -67.877610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18465168--1.18468778) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dl = 229.993099999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18465168--1.18468778) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dr = 229.993099999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68124294-1.68133882) × cos(-1.18465168) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376619747339496 × 6371000     		do = 230.058730059406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68124294-1.68133882) × cos(-1.18468778) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376586305211351 × 6371000     		du = 230.038301885935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18465168)-sin(-1.18468778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376619747339496-0.376586305211351)×R²
    abs(1.68133882-1.68124294)×3.34421281442121e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34421281442121e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34421281442121e-05×40589641000000     		ar = 52909.5713443967m²