Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50304 / 49539
↖ ↑ ↗
← S 67.346209°
E 96.328125°		 ← 235.28 m → S 67.346209°
E 96.333618°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 67.348325°
E 96.328125°		 ← 235.26 m →
55 354 m²		 S 67.348325°
E 96.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767585754394531 y=0.755912780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767585754394531 × 216)
    floor (0.767585754394531 × 65536)
    floor (50304.5)     		tx = 50304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755912780761719 × 216)
    floor (0.755912780761719 × 65536)
    floor (49539.5)     		ty = 49539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50304 / 49539 ti = "16/50304/49539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50304/49539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50304 ÷ 216
    50304 ÷ 65536     		x = 0.767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49539 ÷ 216
    49539 ÷ 65536     		y = 0.755905151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767578125 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755905151367188 × 2 - 1) × π
    -0.511810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60789948705592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68124294} λ = 1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60789948705592))-π/2
    2×atan(0.200307921872316)-π/2
    2×0.197691621033127-π/2
    0.395383242066254-1.57079632675     		φ = -1.17541308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17541308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.346209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50304 KachelY 49539 1.68124294 -1.17541308 96.328125 -67.346209
    Oben rechts KachelX + 1 50305 KachelY 49539 1.68133882 -1.17541308 96.333618 -67.346209
    Unten links KachelX 50304 KachelY + 1 49540 1.68124294 -1.17545001 96.328125 -67.348325
    Unten rechts KachelX + 1 50305 KachelY + 1 49540 1.68133882 -1.17545001 96.333618 -67.348325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17541308--1.17545001) × R
    3.69300000000461e-05 × 6371000     		dl = 235.281030000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17541308--1.17545001) × R
    3.69300000000461e-05 × 6371000     		dr = 235.281030000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68124294-1.68133882) × cos(-1.17541308) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38516189601463 × 6371000     		do = 235.276714219988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68124294-1.68133882) × cos(-1.17545001) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385127814937679 × 6371000     		du = 235.255895743693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17541308)-sin(-1.17545001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38516189601463-0.385127814937679)×R²
    abs(1.68133882-1.68124294)×3.40810769504651e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40810769504651e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40810769504651e-05×40589641000000     		ar = 55353.6985669093m²