Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50303 / 50682
↖ ↑ ↗
← S 69.645625°
E 96.322632°		 ← 212.45 m → S 69.645625°
E 96.328125°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 69.647536°
E 96.322632°		 ← 212.43 m →
45 137 m²		 S 69.647536°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767570495605469 y=0.773353576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767570495605469 × 216)
    floor (0.767570495605469 × 65536)
    floor (50303.5)     		tx = 50303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773353576660156 × 216)
    floor (0.773353576660156 × 65536)
    floor (50682.5)     		ty = 50682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50303 / 50682 ti = "16/50303/50682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50303/50682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50303 ÷ 216
    50303 ÷ 65536     		x = 0.767562866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50682 ÷ 216
    50682 ÷ 65536     		y = 0.773345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767562866210938 × 2 - 1) × π
    0.535125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68114707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.54669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71748323958737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68114707} λ = 1.68114707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71748323958737))-π/2
    2×atan(0.179517382089778)-π/2
    2×0.177625427103413-π/2
    0.355250854206826-1.57079632675     		φ = -1.21554547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68114707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21554547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.645625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50303 KachelY 50682 1.68114707 -1.21554547 96.322632 -69.645625
    Oben rechts KachelX + 1 50304 KachelY 50682 1.68124294 -1.21554547 96.328125 -69.645625
    Unten links KachelX 50303 KachelY + 1 50683 1.68114707 -1.21557882 96.322632 -69.647536
    Unten rechts KachelX + 1 50304 KachelY + 1 50683 1.68124294 -1.21557882 96.328125 -69.647536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21554547--1.21557882) × R
    3.33500000000431e-05 × 6371000     		dl = 212.472850000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21554547--1.21557882) × R
    3.33500000000431e-05 × 6371000     		dr = 212.472850000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68114707-1.68124294) × cos(-1.21554547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347825569289469 × 6371000     		do = 212.447603815291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68114707-1.68124294) × cos(-1.21557882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347794301494593 × 6371000     		du = 212.428505828586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21554547)-sin(-1.21557882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347825569289469-0.347794301494593)×R²
    abs(1.68124294-1.68114707)×3.12677948754447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12677948754447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12677948754447e-05×40589641000000     		ar = 45137.3189607931m²