Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50303 / 50677
↖ ↑ ↗
← S 69.636070°
E 96.322632°		 ← 212.54 m → S 69.636070°
E 96.328125°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
S 69.637981°
E 96.322632°		 ← 212.52 m →
45 171 m²		 S 69.637981°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767570495605469 y=0.773277282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767570495605469 × 216)
    floor (0.767570495605469 × 65536)
    floor (50303.5)     		tx = 50303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773277282714844 × 216)
    floor (0.773277282714844 × 65536)
    floor (50677.5)     		ty = 50677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50303 / 50677 ti = "16/50303/50677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50303/50677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50303 ÷ 216
    50303 ÷ 65536     		x = 0.767562866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50677 ÷ 216
    50677 ÷ 65536     		y = 0.773269653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767562866210938 × 2 - 1) × π
    0.535125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68114707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773269653320312 × 2 - 1) × π
    -0.546539306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71700387059117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68114707} λ = 1.68114707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71700387059117))-π/2
    2×atan(0.179603457786392)-π/2
    2×0.177708814236668-π/2
    0.355417628473336-1.57079632675     		φ = -1.21537870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68114707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21537870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.636070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50303 KachelY 50677 1.68114707 -1.21537870 96.322632 -69.636070
    Oben rechts KachelX + 1 50304 KachelY 50677 1.68124294 -1.21537870 96.328125 -69.636070
    Unten links KachelX 50303 KachelY + 1 50678 1.68114707 -1.21541206 96.322632 -69.637981
    Unten rechts KachelX + 1 50304 KachelY + 1 50678 1.68124294 -1.21541206 96.328125 -69.637981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21537870--1.21541206) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21537870--1.21541206) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68114707-1.68124294) × cos(-1.21537870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347981921210284 × 6371000     		do = 212.54310165634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68114707-1.68124294) × cos(-1.21541206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347950645975157 × 6371000     		du = 212.523999125221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21537870)-sin(-1.21541206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347981921210284-0.347950645975157)×R²
    abs(1.68124294-1.68114707)×3.12752351269152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12752351269152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12752351269152e-05×40589641000000     		ar = 45171.1496887972m²