Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50302 / 48515
↖ ↑ ↗
← S 65.079075°
E 96.317139°		 ← 257.37 m → S 65.079075°
E 96.322632°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
S 65.081390°
E 96.317139°		 ← 257.34 m →
66 240 m²		 S 65.081390°
E 96.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767555236816406 y=0.740287780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767555236816406 × 216)
    floor (0.767555236816406 × 65536)
    floor (50302.5)     		tx = 50302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740287780761719 × 216)
    floor (0.740287780761719 × 65536)
    floor (48515.5)     		ty = 48515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50302 / 48515 ti = "16/50302/48515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50302/48515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50302 ÷ 216
    50302 ÷ 65536     		x = 0.767547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48515 ÷ 216
    48515 ÷ 65536     		y = 0.740280151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767547607421875 × 2 - 1) × π
    0.53509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68105120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740280151367188 × 2 - 1) × π
    -0.480560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50972471663405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68105120} λ = 1.68105120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50972471663405))-π/2
    2×atan(0.220970799172833)-π/2
    2×0.217476097773232-π/2
    0.434952195546464-1.57079632675     		φ = -1.13584413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68105120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13584413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.079075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50302 KachelY 48515 1.68105120 -1.13584413 96.317139 -65.079075
    Oben rechts KachelX + 1 50303 KachelY 48515 1.68114707 -1.13584413 96.322632 -65.079075
    Unten links KachelX 50302 KachelY + 1 48516 1.68105120 -1.13588453 96.317139 -65.081390
    Unten rechts KachelX + 1 50303 KachelY + 1 48516 1.68114707 -1.13588453 96.322632 -65.081390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13584413--1.13588453) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13584413--1.13588453) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68105120-1.68114707) × cos(-1.13584413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421367049590538 × 6371000     		do = 257.365840570879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68105120-1.68114707) × cos(-1.13588453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421330410883163 × 6371000     		du = 257.343462096505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13584413)-sin(-1.13588453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421367049590538-0.421330410883163)×R²
    abs(1.68114707-1.68105120)×3.66387073749697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66387073749697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66387073749697e-05×40589641000000     		ar = 66240.101948147m²