Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50301 / 49374
↖ ↑ ↗
← S 66.994551°
E 96.311645°		 ← 238.73 m → S 66.994551°
E 96.317139°		 →
↑
238.66 m
↓
↑
238.66 m
↓
S 66.996697°
E 96.311645°		 ← 238.71 m →
56 973 m²		 S 66.996697°
E 96.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767539978027344 y=0.753395080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767539978027344 × 216)
    floor (0.767539978027344 × 65536)
    floor (50301.5)     		tx = 50301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753395080566406 × 216)
    floor (0.753395080566406 × 65536)
    floor (49374.5)     		ty = 49374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50301 / 49374 ti = "16/50301/49374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50301/49374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50301 ÷ 216
    50301 ÷ 65536     		x = 0.767532348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49374 ÷ 216
    49374 ÷ 65536     		y = 0.753387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767532348632812 × 2 - 1) × π
    0.535064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68095532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753387451171875 × 2 - 1) × π
    -0.50677490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59208031018131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68095532} λ = 1.68095532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59208031018131))-π/2
    2×atan(0.203501824165526)-π/2
    2×0.200760419772711-π/2
    0.401520839545423-1.57079632675     		φ = -1.16927549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68095532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.311645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16927549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.994551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50301 KachelY 49374 1.68095532 -1.16927549 96.311645 -66.994551
    Oben rechts KachelX + 1 50302 KachelY 49374 1.68105120 -1.16927549 96.317139 -66.994551
    Unten links KachelX 50301 KachelY + 1 49375 1.68095532 -1.16931295 96.311645 -66.996697
    Unten rechts KachelX + 1 50302 KachelY + 1 49375 1.68105120 -1.16931295 96.317139 -66.996697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16927549--1.16931295) × R
    3.74599999999337e-05 × 6371000     		dl = 238.657659999577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16927549--1.16931295) × R
    3.74599999999337e-05 × 6371000     		dr = 238.657659999577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68095532-1.68105120) × cos(-1.16927549) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390818674867254 × 6371000     		do = 238.732165954145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68095532-1.68105120) × cos(-1.16931295) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390784193873488 × 6371000     		du = 238.71110318807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16927549)-sin(-1.16931295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390818674867254-0.390784193873488)×R²
    abs(1.68105120-1.68095532)×3.448099376685e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.448099376685e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.448099376685e-05×40589641000000     		ar = 56972.7467046257m²