Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50300 / 50669
↖ ↑ ↗
← S 69.620772°
E 96.306152°		 ← 212.70 m → S 69.620772°
E 96.311645°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 69.622685°
E 96.306152°		 ← 212.68 m →
45 244 m²		 S 69.622685°
E 96.311645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767524719238281 y=0.773155212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767524719238281 × 216)
    floor (0.767524719238281 × 65536)
    floor (50300.5)     		tx = 50300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773155212402344 × 216)
    floor (0.773155212402344 × 65536)
    floor (50669.5)     		ty = 50669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50300 / 50669 ti = "16/50300/50669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50300/50669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50300 ÷ 216
    50300 ÷ 65536     		x = 0.76751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50669 ÷ 216
    50669 ÷ 65536     		y = 0.773147583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68085945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773147583007812 × 2 - 1) × π
    -0.546295166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71623688019725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68085945} λ = 1.68085945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71623688019725))-π/2
    2×atan(0.179741264754784)-π/2
    2×0.177842311621291-π/2
    0.355684623242583-1.57079632675     		φ = -1.21511170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68085945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21511170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.620772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50300 KachelY 50669 1.68085945 -1.21511170 96.306152 -69.620772
    Oben rechts KachelX + 1 50301 KachelY 50669 1.68095532 -1.21511170 96.311645 -69.620772
    Unten links KachelX 50300 KachelY + 1 50670 1.68085945 -1.21514509 96.306152 -69.622685
    Unten rechts KachelX + 1 50301 KachelY + 1 50670 1.68095532 -1.21514509 96.311645 -69.622685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21511170--1.21514509) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21511170--1.21514509) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68085945-1.68095532) × cos(-1.21511170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348232221635818 × 6371000     		do = 212.695982095082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68085945-1.68095532) × cos(-1.21514509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348200921378585 × 6371000     		du = 212.676864280767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21511170)-sin(-1.21514509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348232221635818-0.348200921378585)×R²
    abs(1.68095532-1.68085945)×3.13002572324139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13002572324139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13002572324139e-05×40589641000000     		ar = 45244.2915034231m²