Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50300 / 48509
↖ ↑ ↗
← S 65.065183°
E 96.306152°		 ← 257.50 m → S 65.065183°
E 96.311645°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
S 65.067499°
E 96.306152°		 ← 257.48 m →
66 307 m²		 S 65.067499°
E 96.311645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767524719238281 y=0.740196228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767524719238281 × 216)
    floor (0.767524719238281 × 65536)
    floor (50300.5)     		tx = 50300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740196228027344 × 216)
    floor (0.740196228027344 × 65536)
    floor (48509.5)     		ty = 48509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50300 / 48509 ti = "16/50300/48509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50300/48509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50300 ÷ 216
    50300 ÷ 65536     		x = 0.76751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48509 ÷ 216
    48509 ÷ 65536     		y = 0.740188598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68085945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740188598632812 × 2 - 1) × π
    -0.480377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50914947383861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68085945} λ = 1.68085945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50914947383861))-π/2
    2×atan(0.221097947600162)-π/2
    2×0.217597323569387-π/2
    0.435194647138774-1.57079632675     		φ = -1.13560168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68085945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13560168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.065183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50300 KachelY 48509 1.68085945 -1.13560168 96.306152 -65.065183
    Oben rechts KachelX + 1 50301 KachelY 48509 1.68095532 -1.13560168 96.311645 -65.065183
    Unten links KachelX 50300 KachelY + 1 48510 1.68085945 -1.13564210 96.306152 -65.067499
    Unten rechts KachelX + 1 50301 KachelY + 1 48510 1.68095532 -1.13564210 96.311645 -65.067499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13560168--1.13564210) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dl = 257.515820000968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13560168--1.13564210) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dr = 257.515820000968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68085945-1.68095532) × cos(-1.13560168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421586912729588 × 6371000     		do = 257.500130287284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68085945-1.68095532) × cos(-1.13564210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421550260014291 × 6371000     		du = 257.477743257044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13560168)-sin(-1.13564210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421586912729588-0.421550260014291)×R²
    abs(1.68095532-1.68085945)×3.66527152965701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66527152965701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66527152965701e-05×40589641000000     		ar = 66307.4747030579m²