Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5030 / 1189
↖ ↑ ↗
← N 77.720940°
E 41.044922°		 ← 1 039.23 m → N 77.720940°
E 41.088867°		 →
↑
1 039.62 m
↓
↑
1 039.62 m
↓
N 77.711590°
E 41.044922°		 ← 1 040.01 m →
1 080 806 m²		 N 77.711590°
E 41.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61407470703125 y=0.14520263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61407470703125 × 213)
    floor (0.61407470703125 × 8192)
    floor (5030.5)     		tx = 5030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14520263671875 × 213)
    floor (0.14520263671875 × 8192)
    floor (1189.5)     		ty = 1189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5030 / 1189 ti = "13/5030/1189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5030/1189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5030 ÷ 213
    5030 ÷ 8192     		x = 0.614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1189 ÷ 213
    1189 ÷ 8192     		y = 0.1451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614013671875 × 2 - 1) × π
    0.22802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71636903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1451416015625 × 2 - 1) × π
    0.709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22964107512805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71636903} λ = 0.71636903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22964107512805))-π/2
    2×atan(9.29652872520743)-π/2
    2×1.46364131255084-π/2
    2.92728262510167-1.57079632675     		φ = 1.35648630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71636903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.044922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35648630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.720940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5030 KachelY 1189 0.71636903 1.35648630 41.044922 77.720940
    Oben rechts KachelX + 1 5031 KachelY 1189 0.71713602 1.35648630 41.088867 77.720940
    Unten links KachelX 5030 KachelY + 1 1190 0.71636903 1.35632312 41.044922 77.711590
    Unten rechts KachelX + 1 5031 KachelY + 1 1190 0.71713602 1.35632312 41.088867 77.711590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35648630-1.35632312) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dl = 1039.61977999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35648630-1.35632312) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dr = 1039.61977999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71636903-0.71713602) × cos(1.35648630) × R
    0.000766990000000023 × 0.212673290036837 × 6371000     		do = 1039.22660472726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71636903-0.71713602) × cos(1.35632312) × R
    0.000766990000000023 × 0.212832734195435 × 6371000     		du = 1040.00572753838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35648630)-sin(1.35632312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212673290036837-0.212832734195435)×R²
    abs(0.71713602-0.71636903)×0.000159444158597949×R²
    0.000766990000000023×0.000159444158597949×6371000²
    0.000766990000000023×0.000159444158597949×40589641000000     		ar = 1080805.53231558m²