Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50296 / 49747
↖ ↑ ↗
← S 67.782258°
E 96.284180°		 ← 230.98 m → S 67.782258°
E 96.289673°		 →
↑
230.95 m
↓
↑
230.95 m
↓
S 67.784335°
E 96.284180°		 ← 230.96 m →
53 342 m²		 S 67.784335°
E 96.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767463684082031 y=0.759086608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767463684082031 × 216)
    floor (0.767463684082031 × 65536)
    floor (50296.5)     		tx = 50296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759086608886719 × 216)
    floor (0.759086608886719 × 65536)
    floor (49747.5)     		ty = 49747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50296 / 49747 ti = "16/50296/49747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50296/49747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50296 ÷ 216
    50296 ÷ 65536     		x = 0.7674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49747 ÷ 216
    49747 ÷ 65536     		y = 0.759078979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759078979492188 × 2 - 1) × π
    -0.518157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62784123729787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68047595} λ = 1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62784123729787))-π/2
    2×atan(0.196352996453504)-π/2
    2×0.193886378912008-π/2
    0.387772757824015-1.57079632675     		φ = -1.18302357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18302357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.782258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50296 KachelY 49747 1.68047595 -1.18302357 96.284180 -67.782258
    Oben rechts KachelX + 1 50297 KachelY 49747 1.68057183 -1.18302357 96.289673 -67.782258
    Unten links KachelX 50296 KachelY + 1 49748 1.68047595 -1.18305982 96.284180 -67.784335
    Unten rechts KachelX + 1 50297 KachelY + 1 49748 1.68057183 -1.18305982 96.289673 -67.784335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18302357--1.18305982) × R
    3.62499999999599e-05 × 6371000     		dl = 230.948749999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18302357--1.18305982) × R
    3.62499999999599e-05 × 6371000     		dr = 230.948749999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68047595-1.68057183) × cos(-1.18302357) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.378127476424123 × 6371000     		do = 230.979728602724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68047595-1.68057183) × cos(-1.18305982) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.378093917609967 × 6371000     		du = 230.95922915143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18302357)-sin(-1.18305982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378127476424123-0.378093917609967)×R²
    abs(1.68057183-1.68047595)×3.35588141564536e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.35588141564536e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.35588141564536e-05×40589641000000     		ar = 53342.1124405026m²