Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50295 / 49782
↖ ↑ ↗
← S 67.854844°
E 96.278687°		 ← 230.24 m → S 67.854844°
E 96.284180°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
S 67.856915°
E 96.278687°		 ← 230.22 m →
53 010 m²		 S 67.856915°
E 96.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767448425292969 y=0.759620666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767448425292969 × 216)
    floor (0.767448425292969 × 65536)
    floor (50295.5)     		tx = 50295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759620666503906 × 216)
    floor (0.759620666503906 × 65536)
    floor (49782.5)     		ty = 49782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50295 / 49782 ti = "16/50295/49782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50295/49782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50295 ÷ 216
    50295 ÷ 65536     		x = 0.767440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49782 ÷ 216
    49782 ÷ 65536     		y = 0.759613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767440795898438 × 2 - 1) × π
    0.534881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68038008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.51922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63119682027127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68038008} λ = 1.68038008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63119682027127))-π/2
    2×atan(0.19569522190757)-π/2
    2×0.19325294439285-π/2
    0.386505888785699-1.57079632675     		φ = -1.18429044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68038008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.278687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18429044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.854844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50295 KachelY 49782 1.68038008 -1.18429044 96.278687 -67.854844
    Oben rechts KachelX + 1 50296 KachelY 49782 1.68047595 -1.18429044 96.284180 -67.854844
    Unten links KachelX 50295 KachelY + 1 49783 1.68038008 -1.18432658 96.278687 -67.856915
    Unten rechts KachelX + 1 50296 KachelY + 1 49783 1.68047595 -1.18432658 96.284180 -67.856915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18429044--1.18432658) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dl = 230.24793999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18429044--1.18432658) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dr = 230.24793999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68038008-1.68047595) × cos(-1.18429044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376954363914593 × 6371000     		do = 230.239115327158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68038008-1.68047595) × cos(-1.18432658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376920889650004 × 6371000     		du = 230.218669655737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18429044)-sin(-1.18432658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376954363914593-0.376920889650004)×R²
    abs(1.68047595-1.68038008)×3.34742645889952e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34742645889952e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34742645889952e-05×40589641000000     		ar = 53009.728230301m²