Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50291 / 49776
↖ ↑ ↗
← S 67.842416°
E 96.256714°		 ← 230.39 m → S 67.842416°
E 96.262207°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
S 67.844488°
E 96.256714°		 ← 230.37 m →
53 073 m²		 S 67.844488°
E 96.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767387390136719 y=0.759529113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767387390136719 × 216)
    floor (0.767387390136719 × 65536)
    floor (50291.5)     		tx = 50291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759529113769531 × 216)
    floor (0.759529113769531 × 65536)
    floor (49776.5)     		ty = 49776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50291 / 49776 ti = "16/50291/49776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50291/49776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50291 ÷ 216
    50291 ÷ 65536     		x = 0.767379760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49776 ÷ 216
    49776 ÷ 65536     		y = 0.759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767379760742188 × 2 - 1) × π
    0.534759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67999658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63062157747583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67999658} λ = 1.67999658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63062157747583))-π/2
    2×atan(0.195807826558476)-π/2
    2×0.193361393422256-π/2
    0.386722786844511-1.57079632675     		φ = -1.18407354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67999658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18407354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.842416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50291 KachelY 49776 1.67999658 -1.18407354 96.256714 -67.842416
    Oben rechts KachelX + 1 50292 KachelY 49776 1.68009246 -1.18407354 96.262207 -67.842416
    Unten links KachelX 50291 KachelY + 1 49777 1.67999658 -1.18410970 96.256714 -67.844488
    Unten rechts KachelX + 1 50292 KachelY + 1 49777 1.68009246 -1.18410970 96.262207 -67.844488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18407354--1.18410970) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dl = 230.3753600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18407354--1.18410970) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dr = 230.3753600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67999658-1.68009246) × cos(-1.18407354) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377155254730462 × 6371000     		do = 230.385845541729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67999658-1.68009246) × cos(-1.18410970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377121764898113 × 6371000     		du = 230.365388228073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18407354)-sin(-1.18410970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377155254730462-0.377121764898113)×R²
    abs(1.68009246-1.67999658)×3.34898323495203e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34898323495203e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34898323495203e-05×40589641000000     		ar = 53072.8656807296m²