Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50289 / 49774
↖ ↑ ↗
← S 67.838272°
E 96.245728°		 ← 230.40 m → S 67.838272°
E 96.251221°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
S 67.840345°
E 96.245728°		 ← 230.38 m →
53 091 m²		 S 67.840345°
E 96.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767356872558594 y=0.759498596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767356872558594 × 216)
    floor (0.767356872558594 × 65536)
    floor (50289.5)     		tx = 50289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759498596191406 × 216)
    floor (0.759498596191406 × 65536)
    floor (49774.5)     		ty = 49774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50289 / 49774 ti = "16/50289/49774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50289/49774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50289 ÷ 216
    50289 ÷ 65536     		x = 0.767349243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49774 ÷ 216
    49774 ÷ 65536     		y = 0.759490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767349243164062 × 2 - 1) × π
    0.534698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67980484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.51898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63042982987735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67980484} λ = 1.67980484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63042982987735))-π/2
    2×atan(0.195845375838859)-π/2
    2×0.193397555940305-π/2
    0.386795111880611-1.57079632675     		φ = -1.18400121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67980484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18400121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.838272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50289 KachelY 49774 1.67980484 -1.18400121 96.245728 -67.838272
    Oben rechts KachelX + 1 50290 KachelY 49774 1.67990071 -1.18400121 96.251221 -67.838272
    Unten links KachelX 50289 KachelY + 1 49775 1.67980484 -1.18403738 96.245728 -67.840345
    Unten rechts KachelX + 1 50290 KachelY + 1 49775 1.67990071 -1.18403738 96.251221 -67.840345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18400121--1.18403738) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18400121--1.18403738) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67980484-1.67990071) × cos(-1.18400121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377222242176902 × 6371000     		do = 230.402732093625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67980484-1.67990071) × cos(-1.18403738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377188744069664 × 6371000     		du = 230.382271859406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18400121)-sin(-1.18403738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377222242176902-0.377188744069664)×R²
    abs(1.67990071-1.67980484)×3.34981072379614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34981072379614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34981072379614e-05×40589641000000     		ar = 53091.4338961418m²