Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50288 / 50007
↖ ↑ ↗
← S 68.316116°
E 96.240234°		 ← 225.70 m → S 68.316116°
E 96.245728°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 68.318146°
E 96.240234°		 ← 225.68 m →
50 944 m²		 S 68.318146°
E 96.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767341613769531 y=0.763053894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767341613769531 × 216)
    floor (0.767341613769531 × 65536)
    floor (50288.5)     		tx = 50288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763053894042969 × 216)
    floor (0.763053894042969 × 65536)
    floor (50007.5)     		ty = 50007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50288 / 50007 ti = "16/50288/50007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50288/50007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50288 ÷ 216
    50288 ÷ 65536     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50007 ÷ 216
    50007 ÷ 65536     		y = 0.763046264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763046264648438 × 2 - 1) × π
    -0.526092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6527684251003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6527684251003))-π/2
    2×atan(0.191518968106843)-π/2
    2×0.189227581135051-π/2
    0.378455162270102-1.57079632675     		φ = -1.19234116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19234116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.316116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50288 KachelY 50007 1.67970896 -1.19234116 96.240234 -68.316116
    Oben rechts KachelX + 1 50289 KachelY 50007 1.67980484 -1.19234116 96.245728 -68.316116
    Unten links KachelX 50288 KachelY + 1 50008 1.67970896 -1.19237659 96.240234 -68.318146
    Unten rechts KachelX + 1 50289 KachelY + 1 50008 1.67980484 -1.19237659 96.245728 -68.318146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19234116--1.19237659) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19234116--1.19237659) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.67980484) × cos(-1.19234116) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.369485395415618 × 6371000     		do = 225.70070062839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.67980484) × cos(-1.19237659) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.369452472333197 × 6371000     		du = 225.680589514767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19234116)-sin(-1.19237659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369485395415618-0.369452472333197)×R²
    abs(1.67980484-1.67970896)×3.29230824205329e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.29230824205329e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.29230824205329e-05×40589641000000     		ar = 50943.9147897804m²