Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50288 / 50005
↖ ↑ ↗
← S 68.312057°
E 96.240234°		 ← 225.74 m → S 68.312057°
E 96.245728°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 68.314087°
E 96.240234°		 ← 225.72 m →
50 953 m²		 S 68.314087°
E 96.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767341613769531 y=0.763023376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767341613769531 × 216)
    floor (0.767341613769531 × 65536)
    floor (50288.5)     		tx = 50288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763023376464844 × 216)
    floor (0.763023376464844 × 65536)
    floor (50005.5)     		ty = 50005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50288 / 50005 ti = "16/50288/50005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50288/50005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50288 ÷ 216
    50288 ÷ 65536     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50005 ÷ 216
    50005 ÷ 65536     		y = 0.763015747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763015747070312 × 2 - 1) × π
    -0.526031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65257667750182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65257667750182))-π/2
    2×atan(0.191555694930069)-π/2
    2×0.189263008259329-π/2
    0.378526016518659-1.57079632675     		φ = -1.19227031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19227031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.312057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50288 KachelY 50005 1.67970896 -1.19227031 96.240234 -68.312057
    Oben rechts KachelX + 1 50289 KachelY 50005 1.67980484 -1.19227031 96.245728 -68.312057
    Unten links KachelX 50288 KachelY + 1 50006 1.67970896 -1.19230574 96.240234 -68.314087
    Unten rechts KachelX + 1 50289 KachelY + 1 50006 1.67980484 -1.19230574 96.245728 -68.314087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19227031--1.19230574) × R
    3.54299999998364e-05 × 6371000     		dl = 225.724529998958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19227031--1.19230574) × R
    3.54299999998364e-05 × 6371000     		dr = 225.724529998958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.67980484) × cos(-1.19227031) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.369551230896885 × 6371000     		do = 225.740916329559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.67980484) × cos(-1.19230574) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.369518308741994 × 6371000     		du = 225.720805782519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19227031)-sin(-1.19230574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369551230896885-0.369518308741994)×R²
    abs(1.67980484-1.67970896)×3.29221548910352e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.29221548910352e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.29221548910352e-05×40589641000000     		ar = 50952.9925233057m²