Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50288 / 49296
↖ ↑ ↗
← S 66.826520°
E 96.240234°		 ← 240.38 m → S 66.826520°
E 96.245728°		 →
↑
240.31 m
↓
↑
240.31 m
↓
S 66.828682°
E 96.240234°		 ← 240.36 m →
57 764 m²		 S 66.828682°
E 96.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767341613769531 y=0.752204895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767341613769531 × 216)
    floor (0.767341613769531 × 65536)
    floor (50288.5)     		tx = 50288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752204895019531 × 216)
    floor (0.752204895019531 × 65536)
    floor (49296.5)     		ty = 49296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50288 / 49296 ti = "16/50288/49296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50288/49296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50288 ÷ 216
    50288 ÷ 65536     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49296 ÷ 216
    49296 ÷ 65536     		y = 0.752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.50439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58460215384058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58460215384058))-π/2
    2×atan(0.205029347031051)-π/2
    2×0.202226760181831-π/2
    0.404453520363663-1.57079632675     		φ = -1.16634281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16634281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.826520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50288 KachelY 49296 1.67970896 -1.16634281 96.240234 -66.826520
    Oben rechts KachelX + 1 50289 KachelY 49296 1.67980484 -1.16634281 96.245728 -66.826520
    Unten links KachelX 50288 KachelY + 1 49297 1.67970896 -1.16638053 96.240234 -66.828682
    Unten rechts KachelX + 1 50289 KachelY + 1 49297 1.67980484 -1.16638053 96.245728 -66.828682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16634281--1.16638053) × R
    3.77200000001299e-05 × 6371000     		dl = 240.314120000827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16634281--1.16638053) × R
    3.77200000001299e-05 × 6371000     		dr = 240.314120000827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.67980484) × cos(-1.16634281) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.393516427536312 × 6371000     		do = 240.380092165268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.67980484) × cos(-1.16638053) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.393481750597084 × 6371000     		du = 240.358909705619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16634281)-sin(-1.16638053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393516427536312-0.393481750597084)×R²
    abs(1.67980484-1.67970896)×3.46769392283175e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.46769392283175e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.46769392283175e-05×40589641000000     		ar = 57764.1850993783m²