Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50287 / 50686
↖ ↑ ↗
← S 69.653267°
E 96.234741°		 ← 212.37 m → S 69.653267°
E 96.240234°		 →
↑
212.35 m
↓
↑
212.35 m
↓
S 69.655176°
E 96.234741°		 ← 212.35 m →
45 094 m²		 S 69.655176°
E 96.240234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767326354980469 y=0.773414611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767326354980469 × 216)
    floor (0.767326354980469 × 65536)
    floor (50287.5)     		tx = 50287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773414611816406 × 216)
    floor (0.773414611816406 × 65536)
    floor (50686.5)     		ty = 50686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50287 / 50686 ti = "16/50287/50686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50287/50686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50287 ÷ 216
    50287 ÷ 65536     		x = 0.767318725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50686 ÷ 216
    50686 ÷ 65536     		y = 0.773406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767318725585938 × 2 - 1) × π
    0.534637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67961309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.54681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71786673478433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67961309} λ = 1.67961309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71786673478433))-π/2
    2×atan(0.17944855123497)-π/2
    2×0.177558744375063-π/2
    0.355117488750126-1.57079632675     		φ = -1.21567884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67961309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21567884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.653267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50287 KachelY 50686 1.67961309 -1.21567884 96.234741 -69.653267
    Oben rechts KachelX + 1 50288 KachelY 50686 1.67970896 -1.21567884 96.240234 -69.653267
    Unten links KachelX 50287 KachelY + 1 50687 1.67961309 -1.21571217 96.234741 -69.655176
    Unten rechts KachelX + 1 50288 KachelY + 1 50687 1.67970896 -1.21571217 96.240234 -69.655176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21567884--1.21571217) × R
    3.33299999999426e-05 × 6371000     		dl = 212.345429999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21567884--1.21571217) × R
    3.33299999999426e-05 × 6371000     		dr = 212.345429999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67961309-1.67970896) × cos(-1.21567884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347700523917328 × 6371000     		do = 212.371227631292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67961309-1.67970896) × cos(-1.21571217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347669273328055 × 6371000     		du = 212.352140153559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21567884)-sin(-1.21571217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347700523917328-0.347669273328055)×R²
    abs(1.67970896-1.67961309)×3.12505892726689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12505892726689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12505892726689e-05×40589641000000     		ar = 45094.0330860817m²