Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50287 / 50685
↖ ↑ ↗
← S 69.651357°
E 96.234741°		 ← 212.39 m → S 69.651357°
E 96.240234°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 69.653267°
E 96.234741°		 ← 212.37 m →
45 112 m²		 S 69.653267°
E 96.240234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767326354980469 y=0.773399353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767326354980469 × 216)
    floor (0.767326354980469 × 65536)
    floor (50287.5)     		tx = 50287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773399353027344 × 216)
    floor (0.773399353027344 × 65536)
    floor (50685.5)     		ty = 50685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50287 / 50685 ti = "16/50287/50685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50287/50685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50287 ÷ 216
    50287 ÷ 65536     		x = 0.767318725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50685 ÷ 216
    50685 ÷ 65536     		y = 0.773391723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767318725585938 × 2 - 1) × π
    0.534637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67961309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773391723632812 × 2 - 1) × π
    -0.546783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71777086098509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67961309} λ = 1.67961309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71777086098509))-π/2
    2×atan(0.179465756474098)-π/2
    2×0.177575412809427-π/2
    0.355150825618855-1.57079632675     		φ = -1.21564550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67961309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21564550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.651357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50287 KachelY 50685 1.67961309 -1.21564550 96.234741 -69.651357
    Oben rechts KachelX + 1 50288 KachelY 50685 1.67970896 -1.21564550 96.240234 -69.651357
    Unten links KachelX 50287 KachelY + 1 50686 1.67961309 -1.21567884 96.234741 -69.653267
    Unten rechts KachelX + 1 50288 KachelY + 1 50686 1.67970896 -1.21567884 96.240234 -69.653267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21564550--1.21567884) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dl = 212.409140000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21564550--1.21567884) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dr = 212.409140000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67961309-1.67970896) × cos(-1.21564550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347731783496285 × 6371000     		do = 212.390320599814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67961309-1.67970896) × cos(-1.21567884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347700523917328 × 6371000     		du = 212.371227631292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21564550)-sin(-1.21567884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347731783496285-0.347700523917328)×R²
    abs(1.67970896-1.67961309)×3.12595789567216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12595789567216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12595789567216e-05×40589641000000     		ar = 45111.6175868045m²