Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50287 / 49310
↖ ↑ ↗
← S 66.856765°
E 96.234741°		 ← 240.06 m → S 66.856765°
E 96.240234°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 66.858924°
E 96.234741°		 ← 240.04 m →
57 626 m²		 S 66.858924°
E 96.240234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767326354980469 y=0.752418518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767326354980469 × 216)
    floor (0.767326354980469 × 65536)
    floor (50287.5)     		tx = 50287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752418518066406 × 216)
    floor (0.752418518066406 × 65536)
    floor (49310.5)     		ty = 49310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50287 / 49310 ti = "16/50287/49310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50287/49310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50287 ÷ 216
    50287 ÷ 65536     		x = 0.767318725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49310 ÷ 216
    49310 ÷ 65536     		y = 0.752410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767318725585938 × 2 - 1) × π
    0.534637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67961309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.50482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58594438702994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67961309} λ = 1.67961309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58594438702994))-π/2
    2×atan(0.204754334443473)-π/2
    2×0.201962827658848-π/2
    0.403925655317696-1.57079632675     		φ = -1.16687067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67961309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16687067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.856765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50287 KachelY 49310 1.67961309 -1.16687067 96.234741 -66.856765
    Oben rechts KachelX + 1 50288 KachelY 49310 1.67970896 -1.16687067 96.240234 -66.856765
    Unten links KachelX 50287 KachelY + 1 49311 1.67961309 -1.16690835 96.234741 -66.858924
    Unten rechts KachelX + 1 50288 KachelY + 1 49311 1.67970896 -1.16690835 96.240234 -66.858924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16687067--1.16690835) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dl = 240.059279999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16687067--1.16690835) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dr = 240.059279999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67961309-1.67970896) × cos(-1.16687067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393031101754713 × 6371000     		do = 240.058590181399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67961309-1.67970896) × cos(-1.16690835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392996453767003 × 6371000     		du = 240.037427614251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16687067)-sin(-1.16690835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393031101754713-0.392996453767003)×R²
    abs(1.67970896-1.67961309)×3.46479877096906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46479877096906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46479877096906e-05×40589641000000     		ar = 57625.7521880327m²