Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50286 / 50679
↖ ↑ ↗
← S 69.639893°
E 96.229248°		 ← 212.50 m → S 69.639893°
E 96.234741°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 69.641804°
E 96.229248°		 ← 212.49 m →
45 149 m²		 S 69.641804°
E 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767311096191406 y=0.773307800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767311096191406 × 216)
    floor (0.767311096191406 × 65536)
    floor (50286.5)     		tx = 50286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773307800292969 × 216)
    floor (0.773307800292969 × 65536)
    floor (50679.5)     		ty = 50679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50286 / 50679 ti = "16/50286/50679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50286/50679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50286 ÷ 216
    50286 ÷ 65536     		x = 0.767303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50679 ÷ 216
    50679 ÷ 65536     		y = 0.773300170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767303466796875 × 2 - 1) × π
    0.53460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67951722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773300170898438 × 2 - 1) × π
    -0.546600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71719561818965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67951722} λ = 1.67951722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71719561818965))-π/2
    2×atan(0.179569022556225)-π/2
    2×0.177675454886177-π/2
    0.355350909772354-1.57079632675     		φ = -1.21544542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67951722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21544542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.639893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50286 KachelY 50679 1.67951722 -1.21544542 96.229248 -69.639893
    Oben rechts KachelX + 1 50287 KachelY 50679 1.67961309 -1.21544542 96.234741 -69.639893
    Unten links KachelX 50286 KachelY + 1 50680 1.67951722 -1.21547877 96.229248 -69.641804
    Unten rechts KachelX + 1 50287 KachelY + 1 50680 1.67961309 -1.21547877 96.234741 -69.641804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21544542--1.21547877) × R
    3.33500000000431e-05 × 6371000     		dl = 212.472850000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21544542--1.21547877) × R
    3.33500000000431e-05 × 6371000     		dr = 212.472850000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67951722-1.67961309) × cos(-1.21544542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347919370352799 × 6371000     		do = 212.504896357586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67951722-1.67961309) × cos(-1.21547877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347888103718606 × 6371000     		du = 212.485799079812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21544542)-sin(-1.21547877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347919370352799-0.347888103718606)×R²
    abs(1.67961309-1.67951722)×3.12666341928391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12666341928391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12666341928391e-05×40589641000000     		ar = 45149.4921459962m²