Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50286 / 49309
↖ ↑ ↗
← S 66.854606°
E 96.229248°		 ← 240.08 m → S 66.854606°
E 96.234741°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 66.856765°
E 96.229248°		 ← 240.06 m →
57 631 m²		 S 66.856765°
E 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767311096191406 y=0.752403259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767311096191406 × 216)
    floor (0.767311096191406 × 65536)
    floor (50286.5)     		tx = 50286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752403259277344 × 216)
    floor (0.752403259277344 × 65536)
    floor (49309.5)     		ty = 49309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50286 / 49309 ti = "16/50286/49309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50286/49309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50286 ÷ 216
    50286 ÷ 65536     		x = 0.767303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49309 ÷ 216
    49309 ÷ 65536     		y = 0.752395629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767303466796875 × 2 - 1) × π
    0.53460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67951722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752395629882812 × 2 - 1) × π
    -0.504791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5858485132307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67951722} λ = 1.67951722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5858485132307))-π/2
    2×atan(0.204773965960486)-π/2
    2×0.201981669181757-π/2
    0.403963338363515-1.57079632675     		φ = -1.16683299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67951722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16683299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.854606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50286 KachelY 49309 1.67951722 -1.16683299 96.229248 -66.854606
    Oben rechts KachelX + 1 50287 KachelY 49309 1.67961309 -1.16683299 96.234741 -66.854606
    Unten links KachelX 50286 KachelY + 1 49310 1.67951722 -1.16687067 96.229248 -66.856765
    Unten rechts KachelX + 1 50287 KachelY + 1 49310 1.67961309 -1.16687067 96.234741 -66.856765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16683299--1.16687067) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dl = 240.059279999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16683299--1.16687067) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dr = 240.059279999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67951722-1.67961309) × cos(-1.16683299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393065749184404 × 6371000     		do = 240.079752407716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67951722-1.67961309) × cos(-1.16687067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393031101754713 × 6371000     		du = 240.058590181399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16683299)-sin(-1.16687067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393065749184404-0.393031101754713)×R²
    abs(1.67961309-1.67951722)×3.46474296910593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46474296910593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46474296910593e-05×40589641000000     		ar = 57630.8324178478m²