Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50285 / 49749
↖ ↑ ↗
← S 67.786412°
E 96.223755°		 ← 230.94 m → S 67.786412°
E 96.229248°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 67.788488°
E 96.223755°		 ← 230.92 m →
53 318 m²		 S 67.788488°
E 96.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767295837402344 y=0.759117126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767295837402344 × 216)
    floor (0.767295837402344 × 65536)
    floor (50285.5)     		tx = 50285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759117126464844 × 216)
    floor (0.759117126464844 × 65536)
    floor (49749.5)     		ty = 49749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50285 / 49749 ti = "16/50285/49749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50285/49749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50285 ÷ 216
    50285 ÷ 65536     		x = 0.767288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49749 ÷ 216
    49749 ÷ 65536     		y = 0.759109497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767288208007812 × 2 - 1) × π
    0.534576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67942134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759109497070312 × 2 - 1) × π
    -0.518218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62803298489635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67942134} λ = 1.67942134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62803298489635))-π/2
    2×atan(0.196315349847418)-π/2
    2×0.193850129611606-π/2
    0.387700259223213-1.57079632675     		φ = -1.18309607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67942134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18309607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.786412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50285 KachelY 49749 1.67942134 -1.18309607 96.223755 -67.786412
    Oben rechts KachelX + 1 50286 KachelY 49749 1.67951722 -1.18309607 96.229248 -67.786412
    Unten links KachelX 50285 KachelY + 1 49750 1.67942134 -1.18313231 96.223755 -67.788488
    Unten rechts KachelX + 1 50286 KachelY + 1 49750 1.67951722 -1.18313231 96.229248 -67.788488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18309607--1.18313231) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18309607--1.18313231) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67942134-1.67951722) × cos(-1.18309607) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378060358298971 × 6371000     		do = 230.938729396106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67942134-1.67951722) × cos(-1.18313231) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378026807749128 × 6371000     		du = 230.918234993079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18309607)-sin(-1.18313231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378060358298971-0.378026807749128)×R²
    abs(1.67951722-1.67942134)×3.35505498439415e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.35505498439415e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.35505498439415e-05×40589641000000     		ar = 53317.9318543048m²