Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50283 / 50672
↖ ↑ ↗
← S 69.626510°
E 96.212768°		 ← 212.66 m → S 69.626510°
E 96.218262°		 →
↑
212.60 m
↓
↑
212.60 m
↓
S 69.628422°
E 96.212768°		 ← 212.64 m →
45 210 m²		 S 69.628422°
E 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767265319824219 y=0.773200988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767265319824219 × 216)
    floor (0.767265319824219 × 65536)
    floor (50283.5)     		tx = 50283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773200988769531 × 216)
    floor (0.773200988769531 × 65536)
    floor (50672.5)     		ty = 50672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50283 / 50672 ti = "16/50283/50672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50283/50672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50283 ÷ 216
    50283 ÷ 65536     		x = 0.767257690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50672 ÷ 216
    50672 ÷ 65536     		y = 0.773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767257690429688 × 2 - 1) × π
    0.534515380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67922959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.54638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71652450159497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67922959} λ = 1.67922959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71652450159497))-π/2
    2×atan(0.179689574754919)-π/2
    2×0.177792238853275-π/2
    0.35558447770655-1.57079632675     		φ = -1.21521185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67922959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.212768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21521185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.626510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50283 KachelY 50672 1.67922959 -1.21521185 96.212768 -69.626510
    Oben rechts KachelX + 1 50284 KachelY 50672 1.67932547 -1.21521185 96.218262 -69.626510
    Unten links KachelX 50283 KachelY + 1 50673 1.67922959 -1.21524522 96.212768 -69.628422
    Unten rechts KachelX + 1 50284 KachelY + 1 50673 1.67932547 -1.21524522 96.218262 -69.628422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21521185--1.21524522) × R
    3.33699999999215e-05 × 6371000     		dl = 212.6002699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21521185--1.21524522) × R
    3.33699999999215e-05 × 6371000     		dr = 212.6002699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67922959-1.67932547) × cos(-1.21521185) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348138338448399 × 6371000     		do = 212.660819285806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67922959-1.67932547) × cos(-1.21524522) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348107055775981 × 6371000     		du = 212.641710219061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21521185)-sin(-1.21524522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348138338448399-0.348107055775981)×R²
    abs(1.67932547-1.67922959)×3.12826724186421e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12826724186421e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12826724186421e-05×40589641000000     		ar = 45209.7163065997m²