Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50283 / 49787
↖ ↑ ↗
← S 67.865195°
E 96.212768°		 ← 230.16 m → S 67.865195°
E 96.218262°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 67.867265°
E 96.212768°		 ← 230.14 m →
52 962 m²		 S 67.867265°
E 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767265319824219 y=0.759696960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767265319824219 × 216)
    floor (0.767265319824219 × 65536)
    floor (50283.5)     		tx = 50283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759696960449219 × 216)
    floor (0.759696960449219 × 65536)
    floor (49787.5)     		ty = 49787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50283 / 49787 ti = "16/50283/49787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50283/49787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50283 ÷ 216
    50283 ÷ 65536     		x = 0.767257690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49787 ÷ 216
    49787 ÷ 65536     		y = 0.759689331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767257690429688 × 2 - 1) × π
    0.534515380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67922959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759689331054688 × 2 - 1) × π
    -0.519378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63167618926747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67922959} λ = 1.67922959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63167618926747))-π/2
    2×atan(0.195601434166746)-π/2
    2×0.193162614330444-π/2
    0.386325228660887-1.57079632675     		φ = -1.18447110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67922959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.212768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18447110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.865195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50283 KachelY 49787 1.67922959 -1.18447110 96.212768 -67.865195
    Oben rechts KachelX + 1 50284 KachelY 49787 1.67932547 -1.18447110 96.218262 -67.865195
    Unten links KachelX 50283 KachelY + 1 49788 1.67922959 -1.18450722 96.212768 -67.867265
    Unten rechts KachelX + 1 50284 KachelY + 1 49788 1.67932547 -1.18450722 96.218262 -67.867265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18447110--1.18450722) × R
    3.61199999998618e-05 × 6371000     		dl = 230.12051999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18447110--1.18450722) × R
    3.61199999998618e-05 × 6371000     		dr = 230.12051999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67922959-1.67932547) × cos(-1.18447110) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.37678702472112 × 6371000     		do = 230.160911695542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67922959-1.67932547) × cos(-1.18450722) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376753566522303 × 6371000     		du = 230.140473705276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18447110)-sin(-1.18450722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37678702472112-0.376753566522303)×R²
    abs(1.67932547-1.67922959)×3.34581988175042e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34581988175042e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34581988175042e-05×40589641000000     		ar = 52962.3970879018m²