Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50282 / 50018
↖ ↑ ↗
← S 68.338432°
E 96.207275°		 ← 225.46 m → S 68.338432°
E 96.212768°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 68.340459°
E 96.207275°		 ← 225.44 m →
50 817 m²		 S 68.340459°
E 96.212768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767250061035156 y=0.763221740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767250061035156 × 216)
    floor (0.767250061035156 × 65536)
    floor (50282.5)     		tx = 50282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763221740722656 × 216)
    floor (0.763221740722656 × 65536)
    floor (50018.5)     		ty = 50018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50282 / 50018 ti = "16/50282/50018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50282/50018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50282 ÷ 216
    50282 ÷ 65536     		x = 0.767242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50018 ÷ 216
    50018 ÷ 65536     		y = 0.763214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767242431640625 × 2 - 1) × π
    0.53448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67913372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.52642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65382303689194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67913372} λ = 1.67913372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65382303689194))-π/2
    2×atan(0.1913170964116)-π/2
    2×0.18903284474961-π/2
    0.378065689499221-1.57079632675     		φ = -1.19273064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67913372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19273064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.338432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50282 KachelY 50018 1.67913372 -1.19273064 96.207275 -68.338432
    Oben rechts KachelX + 1 50283 KachelY 50018 1.67922959 -1.19273064 96.212768 -68.338432
    Unten links KachelX 50282 KachelY + 1 50019 1.67913372 -1.19276602 96.207275 -68.340459
    Unten rechts KachelX + 1 50283 KachelY + 1 50019 1.67922959 -1.19276602 96.212768 -68.340459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19273064--1.19276602) × R
    3.53800000001403e-05 × 6371000     		dl = 225.405980000894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19273064--1.19276602) × R
    3.53800000001403e-05 × 6371000     		dr = 225.405980000894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67913372-1.67922959) × cos(-1.19273064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369123448353671 × 6371000     		do = 225.456087874644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67913372-1.67922959) × cos(-1.19276602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369090566645015 × 6371000     		du = 225.43600412914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19273064)-sin(-1.19276602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369123448353671-0.369090566645015)×R²
    abs(1.67922959-1.67913372)×3.28817086552302e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28817086552302e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28817086552302e-05×40589641000000     		ar = 50816.886941685m²