Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50280 / 49402
↖ ↑ ↗
← S 67.054587°
E 96.196289°		 ← 238.14 m → S 67.054587°
E 96.201782°		 →
↑
238.15 m
↓
↑
238.15 m
↓
S 67.056729°
E 96.196289°		 ← 238.12 m →
56 711 m²		 S 67.056729°
E 96.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767219543457031 y=0.753822326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767219543457031 × 216)
    floor (0.767219543457031 × 65536)
    floor (50280.5)     		tx = 50280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753822326660156 × 216)
    floor (0.753822326660156 × 65536)
    floor (49402.5)     		ty = 49402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50280 / 49402 ti = "16/50280/49402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50280/49402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50280 ÷ 216
    50280 ÷ 65536     		x = 0.7672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49402 ÷ 216
    49402 ÷ 65536     		y = 0.753814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    0.534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67894197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.50762939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59476477656003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67894197} λ = 1.67894197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59476477656003))-π/2
    2×atan(0.202956262958529)-π/2
    2×0.200236497632032-π/2
    0.400472995264064-1.57079632675     		φ = -1.17032333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67894197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17032333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.054587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50280 KachelY 49402 1.67894197 -1.17032333 96.196289 -67.054587
    Oben rechts KachelX + 1 50281 KachelY 49402 1.67903785 -1.17032333 96.201782 -67.054587
    Unten links KachelX 50280 KachelY + 1 49403 1.67894197 -1.17036071 96.196289 -67.056729
    Unten rechts KachelX + 1 50281 KachelY + 1 49403 1.67903785 -1.17036071 96.201782 -67.056729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17032333--1.17036071) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dl = 238.147979999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17032333--1.17036071) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dr = 238.147979999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67894197-1.67903785) × cos(-1.17032333) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.389853957628976 × 6371000     		do = 238.142867001913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67894197-1.67903785) × cos(-1.17036071) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.389819534985673 × 6371000     		du = 238.121839879305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17032333)-sin(-1.17036071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389853957628976-0.389819534985673)×R²
    abs(1.67903785-1.67894197)×3.4422643303389e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.4422643303389e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.4422643303389e-05×40589641000000     		ar = 56710.7389513204m²