Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50280 / 49401
↖ ↑ ↗
← S 67.052446°
E 96.196289°		 ← 238.16 m → S 67.052446°
E 96.201782°		 →
↑
238.15 m
↓
↑
238.15 m
↓
S 67.054587°
E 96.196289°		 ← 238.14 m →
56 716 m²		 S 67.054587°
E 96.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767219543457031 y=0.753807067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767219543457031 × 216)
    floor (0.767219543457031 × 65536)
    floor (50280.5)     		tx = 50280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753807067871094 × 216)
    floor (0.753807067871094 × 65536)
    floor (49401.5)     		ty = 49401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50280 / 49401 ti = "16/50280/49401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50280/49401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50280 ÷ 216
    50280 ÷ 65536     		x = 0.7672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49401 ÷ 216
    49401 ÷ 65536     		y = 0.753799438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    0.534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67894197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.507598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59466890276079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67894197} λ = 1.67894197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59466890276079))-π/2
    2×atan(0.202975722079334)-π/2
    2×0.200255186846997-π/2
    0.400510373693995-1.57079632675     		φ = -1.17028595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67894197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17028595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.052446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50280 KachelY 49401 1.67894197 -1.17028595 96.196289 -67.052446
    Oben rechts KachelX + 1 50281 KachelY 49401 1.67903785 -1.17028595 96.201782 -67.052446
    Unten links KachelX 50280 KachelY + 1 49402 1.67894197 -1.17032333 96.196289 -67.054587
    Unten rechts KachelX + 1 50281 KachelY + 1 49402 1.67903785 -1.17032333 96.201782 -67.054587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17028595--1.17032333) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dl = 238.147979999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17028595--1.17032333) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dr = 238.147979999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67894197-1.67903785) × cos(-1.17028595) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.389888379727551 × 6371000     		do = 238.163893791772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67894197-1.67903785) × cos(-1.17032333) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.389853957628976 × 6371000     		du = 238.142867001913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17028595)-sin(-1.17032333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389888379727551-0.389853957628976)×R²
    abs(1.67903785-1.67894197)×3.44220985743493e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.44220985743493e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.44220985743493e-05×40589641000000     		ar = 56715.7464783123m²