Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50279 / 49123
↖ ↑ ↗
← S 66.449692°
E 96.190796°		 ← 244.04 m → S 66.449692°
E 96.196289°		 →
↑
244.01 m
↓
↑
244.01 m
↓
S 66.451886°
E 96.190796°		 ← 244.02 m →
59 546 m²		 S 66.451886°
E 96.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767204284667969 y=0.749565124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767204284667969 × 216)
    floor (0.767204284667969 × 65536)
    floor (50279.5)     		tx = 50279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749565124511719 × 216)
    floor (0.749565124511719 × 65536)
    floor (49123.5)     		ty = 49123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50279 / 49123 ti = "16/50279/49123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50279/49123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50279 ÷ 216
    50279 ÷ 65536     		x = 0.767196655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49123 ÷ 216
    49123 ÷ 65536     		y = 0.749557495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767196655273438 × 2 - 1) × π
    0.534393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67884610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749557495117188 × 2 - 1) × π
    -0.499114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56801598657204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67884610} λ = 1.67884610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56801598657204))-π/2
    2×atan(0.20845835652846)-π/2
    2×0.205515208761184-π/2
    0.411030417522368-1.57079632675     		φ = -1.15976591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67884610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15976591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.449692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50279 KachelY 49123 1.67884610 -1.15976591 96.190796 -66.449692
    Oben rechts KachelX + 1 50280 KachelY 49123 1.67894197 -1.15976591 96.196289 -66.449692
    Unten links KachelX 50279 KachelY + 1 49124 1.67884610 -1.15980421 96.190796 -66.451886
    Unten rechts KachelX + 1 50280 KachelY + 1 49124 1.67894197 -1.15980421 96.196289 -66.451886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15976591--1.15980421) × R
    3.82999999999356e-05 × 6371000     		dl = 244.00929999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15976591--1.15980421) × R
    3.82999999999356e-05 × 6371000     		dr = 244.00929999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67884610-1.67894197) × cos(-1.15976591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399554132902516 × 6371000     		do = 244.042777829806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67884610-1.67894197) × cos(-1.15980421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399519022631707 × 6371000     		du = 244.021332905795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15976591)-sin(-1.15980421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399554132902516-0.399519022631707)×R²
    abs(1.67894197-1.67884610)×3.51102708089912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51102708089912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51102708089912e-05×40589641000000     		ar = 59546.0910148276m²