Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50278 / 50683
↖ ↑ ↗
← S 69.647536°
E 96.185302°		 ← 212.45 m → S 69.647536°
E 96.190796°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 69.649446°
E 96.185302°		 ← 212.43 m →
45 124 m²		 S 69.649446°
E 96.190796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767189025878906 y=0.773368835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767189025878906 × 216)
    floor (0.767189025878906 × 65536)
    floor (50278.5)     		tx = 50278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773368835449219 × 216)
    floor (0.773368835449219 × 65536)
    floor (50683.5)     		ty = 50683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50278 / 50683 ti = "16/50278/50683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50278/50683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50278 ÷ 216
    50278 ÷ 65536     		x = 0.767181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50683 ÷ 216
    50683 ÷ 65536     		y = 0.773361206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767181396484375 × 2 - 1) × π
    0.53436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67875022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773361206054688 × 2 - 1) × π
    -0.546722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71757911338661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67875022} λ = 1.67875022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71757911338661))-π/2
    2×atan(0.179500171901343)-π/2
    2×0.177608754173486-π/2
    0.355217508346972-1.57079632675     		φ = -1.21557882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67875022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.185302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21557882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.647536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50278 KachelY 50683 1.67875022 -1.21557882 96.185302 -69.647536
    Oben rechts KachelX + 1 50279 KachelY 50683 1.67884610 -1.21557882 96.190796 -69.647536
    Unten links KachelX 50278 KachelY + 1 50684 1.67875022 -1.21561216 96.185302 -69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 50279 KachelY + 1 50684 1.67884610 -1.21561216 96.190796 -69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21557882--1.21561216) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dl = 212.409140000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21557882--1.21561216) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dr = 212.409140000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67875022-1.67884610) × cos(-1.21557882) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347794301494593 × 6371000     		do = 212.450663803399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67875022-1.67884610) × cos(-1.21561216) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 212.431569315567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21557882)-sin(-1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347794301494593-0.347763042688718)×R²
    abs(1.67884610-1.67875022)×3.1258805875567e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1258805875567e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1258805875567e-05×40589641000000     		ar = 45124.4348732452m²