Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50275 / 49738
↖ ↑ ↗
← S 67.763556°
E 96.168823°		 ← 231.16 m → S 67.763556°
E 96.174317°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
S 67.765635°
E 96.168823°		 ← 231.14 m →
53 429 m²		 S 67.765635°
E 96.174317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767143249511719 y=0.758949279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767143249511719 × 216)
    floor (0.767143249511719 × 65536)
    floor (50275.5)     		tx = 50275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758949279785156 × 216)
    floor (0.758949279785156 × 65536)
    floor (49738.5)     		ty = 49738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50275 / 49738 ti = "16/50275/49738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50275/49738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50275 ÷ 216
    50275 ÷ 65536     		x = 0.767135620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49738 ÷ 216
    49738 ÷ 65536     		y = 0.758941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767135620117188 × 2 - 1) × π
    0.534271240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67846260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.51788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62697837310471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67846260} λ = 1.67846260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62697837310471))-π/2
    2×atan(0.196522495540194)-π/2
    2×0.194049580413418-π/2
    0.388099160826836-1.57079632675     		φ = -1.18269717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67846260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.168823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18269717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.763556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50275 KachelY 49738 1.67846260 -1.18269717 96.168823 -67.763556
    Oben rechts KachelX + 1 50276 KachelY 49738 1.67855848 -1.18269717 96.174317 -67.763556
    Unten links KachelX 50275 KachelY + 1 49739 1.67846260 -1.18273345 96.168823 -67.765635
    Unten rechts KachelX + 1 50276 KachelY + 1 49739 1.67855848 -1.18273345 96.174317 -67.765635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18269717--1.18273345) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18269717--1.18273345) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67846260-1.67855848) × cos(-1.18269717) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378429622231013 × 6371000     		do = 231.164294815504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67846260-1.67855848) × cos(-1.18273345) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378396040123136 × 6371000     		du = 231.143781135205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18269717)-sin(-1.18273345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378429622231013-0.378396040123136)×R²
    abs(1.67855848-1.67846260)×3.35821078768506e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.35821078768506e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.35821078768506e-05×40589641000000     		ar = 53428.9166049622m²