Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50272 / 49376
↖ ↑ ↗
← S 66.998844°
E 96.152344°		 ← 238.69 m → S 66.998844°
E 96.157837°		 →
↑
238.66 m
↓
↑
238.66 m
↓
S 67.000990°
E 96.152344°		 ← 238.67 m →
56 963 m²		 S 67.000990°
E 96.157837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767097473144531 y=0.753425598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767097473144531 × 216)
    floor (0.767097473144531 × 65536)
    floor (50272.5)     		tx = 50272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753425598144531 × 216)
    floor (0.753425598144531 × 65536)
    floor (49376.5)     		ty = 49376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50272 / 49376 ti = "16/50272/49376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50272/49376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50272 ÷ 216
    50272 ÷ 65536     		x = 0.76708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49376 ÷ 216
    49376 ÷ 65536     		y = 0.75341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76708984375 × 2 - 1) × π
    0.5341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67817498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59227205777979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67817498} λ = 1.67817498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59227205777979))-π/2
    2×atan(0.203462806920307)-π/2
    2×0.200722953807751-π/2
    0.401445907615503-1.57079632675     		φ = -1.16935042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67817498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16935042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.998844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50272 KachelY 49376 1.67817498 -1.16935042 96.152344 -66.998844
    Oben rechts KachelX + 1 50273 KachelY 49376 1.67827086 -1.16935042 96.157837 -66.998844
    Unten links KachelX 50272 KachelY + 1 49377 1.67817498 -1.16938788 96.152344 -67.000990
    Unten rechts KachelX + 1 50273 KachelY + 1 49377 1.67827086 -1.16938788 96.157837 -67.000990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16935042--1.16938788) × R
    3.74599999999337e-05 × 6371000     		dl = 238.657659999577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16935042--1.16938788) × R
    3.74599999999337e-05 × 6371000     		dr = 238.657659999577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67817498-1.67827086) × cos(-1.16935042) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390749703126382 × 6371000     		do = 238.690034464155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67817498-1.67827086) × cos(-1.16938788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39071522103578 × 6371000     		du = 238.668971028077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16935042)-sin(-1.16938788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390749703126382-0.39071522103578)×R²
    abs(1.67827086-1.67817498)×3.44820906019172e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.44820906019172e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.44820906019172e-05×40589641000000     		ar = 56962.6916220084m²