Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50271 / 49381
↖ ↑ ↗
← S 67.009574°
E 96.146851°		 ← 238.56 m → S 67.009574°
E 96.152344°		 →
↑
238.59 m
↓
↑
238.59 m
↓
S 67.011719°
E 96.146851°		 ← 238.54 m →
56 916 m²		 S 67.011719°
E 96.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767082214355469 y=0.753501892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767082214355469 × 216)
    floor (0.767082214355469 × 65536)
    floor (50271.5)     		tx = 50271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753501892089844 × 216)
    floor (0.753501892089844 × 65536)
    floor (49381.5)     		ty = 49381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50271 / 49381 ti = "16/50271/49381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50271/49381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50271 ÷ 216
    50271 ÷ 65536     		x = 0.767074584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49381 ÷ 216
    49381 ÷ 65536     		y = 0.753494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767074584960938 × 2 - 1) × π
    0.534149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67807911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753494262695312 × 2 - 1) × π
    -0.506988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59275142677599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67807911} λ = 1.67807911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59275142677599))-π/2
    2×atan(0.203365296532385)-π/2
    2×0.200629317821961-π/2
    0.401258635643921-1.57079632675     		φ = -1.16953769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67807911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16953769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.009574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50271 KachelY 49381 1.67807911 -1.16953769 96.146851 -67.009574
    Oben rechts KachelX + 1 50272 KachelY 49381 1.67817498 -1.16953769 96.152344 -67.009574
    Unten links KachelX 50271 KachelY + 1 49382 1.67807911 -1.16957514 96.146851 -67.011719
    Unten rechts KachelX + 1 50272 KachelY + 1 49382 1.67817498 -1.16957514 96.152344 -67.011719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16953769--1.16957514) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dl = 238.593949999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16953769--1.16957514) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dr = 238.593949999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67807911-1.67817498) × cos(-1.16953769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390577314808243 × 6371000     		do = 238.559847124309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67807911-1.67817498) × cos(-1.16957514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390542839183052 × 6371000     		du = 238.53878983408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16953769)-sin(-1.16957514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390577314808243-0.390542839183052)×R²
    abs(1.67817498-1.67807911)×3.44756251903777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44756251903777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44756251903777e-05×40589641000000     		ar = 56916.4241722256m²