Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50269 / 49383
↖ ↑ ↗
← S 67.013865°
E 96.135864°		 ← 238.52 m → S 67.013865°
E 96.141357°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 67.016009°
E 96.135864°		 ← 238.50 m →
56 876 m²		 S 67.016009°
E 96.141357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767051696777344 y=0.753532409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767051696777344 × 216)
    floor (0.767051696777344 × 65536)
    floor (50269.5)     		tx = 50269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753532409667969 × 216)
    floor (0.753532409667969 × 65536)
    floor (49383.5)     		ty = 49383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50269 / 49383 ti = "16/50269/49383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50269/49383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50269 ÷ 216
    50269 ÷ 65536     		x = 0.767044067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49383 ÷ 216
    49383 ÷ 65536     		y = 0.753524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767044067382812 × 2 - 1) × π
    0.534088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67788736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753524780273438 × 2 - 1) × π
    -0.507049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59294317437447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67788736} λ = 1.67788736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59294317437447))-π/2
    2×atan(0.203326305463502)-π/2
    2×0.200591874995777-π/2
    0.401183749991553-1.57079632675     		φ = -1.16961258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67788736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.135864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16961258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.013865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50269 KachelY 49383 1.67788736 -1.16961258 96.135864 -67.013865
    Oben rechts KachelX + 1 50270 KachelY 49383 1.67798323 -1.16961258 96.141357 -67.013865
    Unten links KachelX 50269 KachelY + 1 49384 1.67788736 -1.16965001 96.135864 -67.016009
    Unten rechts KachelX + 1 50270 KachelY + 1 49384 1.67798323 -1.16965001 96.141357 -67.016009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16961258--1.16965001) × R
    3.7430000000116e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16961258--1.16965001) × R
    3.7430000000116e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67788736-1.67798323) × cos(-1.16961258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390508372216119 × 6371000     		do = 238.517737832208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67788736-1.67798323) × cos(-1.16965001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390473913907928 × 6371000     		du = 238.49669111899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16961258)-sin(-1.16965001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390508372216119-0.390473913907928)×R²
    abs(1.67798323-1.67788736)×3.44583081905991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44583081905991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44583081905991e-05×40589641000000     		ar = 56875.9878230356m²