Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50267 / 49377
↖ ↑ ↗
← S 67.000990°
E 96.124878°		 ← 238.67 m → S 67.000990°
E 96.130371°		 →
↑
238.66 m
↓
↑
238.66 m
↓
S 67.003136°
E 96.124878°		 ← 238.65 m →
56 958 m²		 S 67.003136°
E 96.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767021179199219 y=0.753440856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767021179199219 × 216)
    floor (0.767021179199219 × 65536)
    floor (50267.5)     		tx = 50267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753440856933594 × 216)
    floor (0.753440856933594 × 65536)
    floor (49377.5)     		ty = 49377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50267 / 49377 ti = "16/50267/49377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50267/49377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50267 ÷ 216
    50267 ÷ 65536     		x = 0.767013549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49377 ÷ 216
    49377 ÷ 65536     		y = 0.753433227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767013549804688 × 2 - 1) × π
    0.534027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67769561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.506866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59236793157903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67769561} λ = 1.67769561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59236793157903))-π/2
    2×atan(0.203443301103067)-π/2
    2×0.200704223304934-π/2
    0.401408446609868-1.57079632675     		φ = -1.16938788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67769561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.124878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16938788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.000990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50267 KachelY 49377 1.67769561 -1.16938788 96.124878 -67.000990
    Oben rechts KachelX + 1 50268 KachelY 49377 1.67779149 -1.16938788 96.130371 -67.000990
    Unten links KachelX 50267 KachelY + 1 49378 1.67769561 -1.16942534 96.124878 -67.003136
    Unten rechts KachelX + 1 50268 KachelY + 1 49378 1.67779149 -1.16942534 96.130371 -67.003136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16938788--1.16942534) × R
    3.74600000001557e-05 × 6371000     		dl = 238.657660000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16938788--1.16942534) × R
    3.74600000001557e-05 × 6371000     		dr = 238.657660000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67769561-1.67779149) × cos(-1.16938788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39071522103578 × 6371000     		do = 238.668971028077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67769561-1.67779149) × cos(-1.16942534) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390680738396907 × 6371000     		du = 238.647907257087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16938788)-sin(-1.16942534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39071522103578-0.390680738396907)×R²
    abs(1.67779149-1.67769561)×3.44826388738451e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.44826388738451e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.44826388738451e-05×40589641000000     		ar = 56957.6646320203m²