Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50266 / 49378
↖ ↑ ↗
← S 67.003136°
E 96.119385°		 ← 238.62 m → S 67.003136°
E 96.124878°		 →
↑
238.59 m
↓
↑
238.59 m
↓
S 67.005282°
E 96.119385°		 ← 238.60 m →
56 931 m²		 S 67.005282°
E 96.124878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767005920410156 y=0.753456115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767005920410156 × 216)
    floor (0.767005920410156 × 65536)
    floor (50266.5)     		tx = 50266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753456115722656 × 216)
    floor (0.753456115722656 × 65536)
    floor (49378.5)     		ty = 49378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50266 / 49378 ti = "16/50266/49378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50266/49378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50266 ÷ 216
    50266 ÷ 65536     		x = 0.766998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49378 ÷ 216
    49378 ÷ 65536     		y = 0.753448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766998291015625 × 2 - 1) × π
    0.53399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67759974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.50689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59246380537827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67759974} λ = 1.67759974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59246380537827))-π/2
    2×atan(0.203423797155834)-π/2
    2×0.200685494455066-π/2
    0.401370988910132-1.57079632675     		φ = -1.16942534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67759974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.119385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16942534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.003136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50266 KachelY 49378 1.67759974 -1.16942534 96.119385 -67.003136
    Oben rechts KachelX + 1 50267 KachelY 49378 1.67769561 -1.16942534 96.124878 -67.003136
    Unten links KachelX 50266 KachelY + 1 49379 1.67759974 -1.16946279 96.119385 -67.005282
    Unten rechts KachelX + 1 50267 KachelY + 1 49379 1.67769561 -1.16946279 96.124878 -67.005282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16942534--1.16946279) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dl = 238.593949999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16942534--1.16946279) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dr = 238.593949999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67759974-1.67769561) × cos(-1.16942534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390680738396907 × 6371000     		do = 238.623016987395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67759974-1.67769561) × cos(-1.16946279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390646264415218 × 6371000     		du = 238.601960700996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16942534)-sin(-1.16946279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390680738396907-0.390646264415218)×R²
    abs(1.67769561-1.67759974)×3.44739816883766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44739816883766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44739816883766e-05×40589641000000     		ar = 56931.4962391333m²