Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50264 / 58166
↖ ↑ ↗
← N 19.833893°
W 41.945801°		 ← 287.31 m → N 19.833893°
W 41.943054°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
N 19.831309°
W 41.945801°		 ← 287.31 m →
82 535 m²		 N 19.831309°
W 41.943054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383487701416016 y=0.443775177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383487701416016 × 217)
    floor (0.383487701416016 × 131072)
    floor (50264.5)     		tx = 50264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443775177001953 × 217)
    floor (0.443775177001953 × 131072)
    floor (58166.5)     		ty = 58166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50264 / 58166 ti = "17/50264/58166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50264/58166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50264 ÷ 217
    50264 ÷ 131072     		x = 0.38348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58166 ÷ 217
    58166 ÷ 131072     		y = 0.443771362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.2330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73209233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443771362304688 × 2 - 1) × π
    0.112457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.353294950199814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73209233} λ = -0.73209233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353294950199814))-π/2
    2×atan(1.42375101715663)-π/2
    2×0.958481529664111-π/2
    1.91696305932822-1.57079632675     		φ = 0.34616673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73209233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.945801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34616673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.833893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50264 KachelY 58166 -0.73209233 0.34616673 -41.945801 19.833893
    Oben rechts KachelX + 1 50265 KachelY 58166 -0.73204439 0.34616673 -41.943054 19.833893
    Unten links KachelX 50264 KachelY + 1 58167 -0.73209233 0.34612164 -41.945801 19.831309
    Unten rechts KachelX + 1 50265 KachelY + 1 58167 -0.73204439 0.34612164 -41.943054 19.831309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34616673-0.34612164) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dl = 287.268389999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34616673-0.34612164) × R
    4.50899999999699e-05 × 6371000     		dr = 287.268389999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73209233--0.73204439) × cos(0.34616673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940680227963198 × 6371000     		do = 287.30795472884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73209233--0.73204439) × cos(0.34612164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940695525792689 × 6371000     		du = 287.312627079733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34616673)-sin(0.34612164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940680227963198-0.940695525792689)×R²
    abs(-0.73204439--0.73209233)×1.52978294909456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52978294909456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52978294909456e-05×40589641000000     		ar = 82535.1647124249m²