Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50264 / 49379
↖ ↑ ↗
← S 67.005282°
E 96.108398°		 ← 238.63 m → S 67.005282°
E 96.113892°		 →
↑
238.59 m
↓
↑
238.59 m
↓
S 67.007428°
E 96.108398°		 ← 238.61 m →
56 932 m²		 S 67.007428°
E 96.113892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766975402832031 y=0.753471374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766975402832031 × 216)
    floor (0.766975402832031 × 65536)
    floor (50264.5)     		tx = 50264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753471374511719 × 216)
    floor (0.753471374511719 × 65536)
    floor (49379.5)     		ty = 49379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50264 / 49379 ti = "16/50264/49379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50264/49379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50264 ÷ 216
    50264 ÷ 65536     		x = 0.7669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49379 ÷ 216
    49379 ÷ 65536     		y = 0.753463745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7669677734375 × 2 - 1) × π
    0.533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67740799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753463745117188 × 2 - 1) × π
    -0.506927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59255967917751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67740799} λ = 1.67740799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59255967917751))-π/2
    2×atan(0.203404295078429)-π/2
    2×0.200666767258028-π/2
    0.401333534516055-1.57079632675     		φ = -1.16946279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67740799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16946279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.005282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50264 KachelY 49379 1.67740799 -1.16946279 96.108398 -67.005282
    Oben rechts KachelX + 1 50265 KachelY 49379 1.67750387 -1.16946279 96.113892 -67.005282
    Unten links KachelX 50264 KachelY + 1 49380 1.67740799 -1.16950024 96.108398 -67.007428
    Unten rechts KachelX + 1 50265 KachelY + 1 49380 1.67750387 -1.16950024 96.113892 -67.007428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16946279--1.16950024) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dl = 238.593949999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16946279--1.16950024) × R
    3.74499999999944e-05 × 6371000     		dr = 238.593949999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67740799-1.67750387) × cos(-1.16946279) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390646264415218 × 6371000     		do = 238.626848774351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67740799-1.67750387) × cos(-1.16950024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390611789885647 × 6371000     		du = 238.60578995694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16946279)-sin(-1.16950024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390646264415218-0.390611789885647)×R²
    abs(1.67750387-1.67740799)×3.44745295707272e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.44745295707272e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.44745295707272e-05×40589641000000     		ar = 56932.410178609m²